★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問

1 ：

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/

2 ：

>>1
受験板でやれ
落ちこぼれ

3 ：

解かれてない問題は何処かね

4 ：

２つの楕円体が交差するとき、断面の曲線の長さをパラメーター表示して。

5 ：

|ap|+|bp|=|cp|+|dp|

6 ：

>>933
> 933 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/12/05(月) 23:55:54.01
> xy平面上の任意の直線上に、ｘ、ｙ座標が共に有理数であるか、
> または共に無理数である点が、少なくとも１つ存在する事を示せ。
>>941
> 941 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/12/07(水) 23:45:27.95
> >>940
> では本題に入ろう...
>
> 両軸に平行でない xy平面上の直線上に、
> ｘ、ｙ座標が共に無理数である点が、たくさん存在する事を示せ。
>>960
> 960 名前：１３２人目の素数さん []： 2011/12/09(金) 21:43:56.91
> （1）f(x)=xを微分せよ。
> （2）f(x)がx軸となす角を求めよ。

7 ：

最後以外は解決済み

8 ：

前スレから
xyz空間において、x軸上の点P、 y軸上の点Q 、z軸上の点Rについて、△PQRの周の長さが1となるように動いている。このとき△PQRの通過しうる領域を求積せよ。

9 ：

>>8
問題の設定からすでに破綻しているって言われただろ低脳

10 ：

　問題
　ｎ個の連続する自然数があり、その和は３２３０である。
　ｎとしてありうるものを全て求めよ。

11 ：

つまんね

12 ：

>>11
そういうことは解いた上で言うべきでは？

13 ：

まんまパクリ問題

14 ：

　お前は、定職に就くのが、先決だろがあ！！！！！！！！

15 ：

ある関数fは実数全体に対して定義され実数の値をとり、
任意の実数x,yに対して
　f(f(x)+y)=f(x-y)+2f(x)+6y-1
が成立する。
fを求めよ。

16 ：

すれから出てくるな

17 ：

>>10
5,17,19

18 ：

>>10
3230

19 ：

>>17,>>18 不正解
5,17,19 のほかにもう２つある

20 ：

>>19
なんでや、sum[k=3230,3230]k=3230

21 ：

ああ、85と95ね
結構いい数字選んだんだな

22 ：

自演か

23 ：

>>21 n=85,95のときは実際に条件に合う連続した整数がない
あと>>19を訂正。あと４つだった。

24 ：

n(a+a+n-1)=6460の自然数解n、aを求めるだけ。

25 ：

>>20 それは連続した整数の和じゃない
n=>2 と言っておくべきだったか

26 ：

>>25
> >>20 それは連続した整数の和じゃない
w

27 ：

>>24 正解

28 ：

ひとりの10、ふたりの10、三人、四人、

29 ：

>>15
与えられた等式にy=0を代入してf(f(x))=3f(x)-1
これのf(x)をtに置き換えればf(t)=3t-1
これは与えられた等式を満たす
よってf(x)=3x-1

30 ：

>>29 f(x)が全ての実数をとることが示されてないから不十分

31 ：

逆を考えれば明らか

32 ：

>>13
元のは3230じゃなくて1000だったかな

33 ：

>>31 逆が成り立つからといってもとの命題が成り立つとは限らない
例えば、「x>0ならば|x|>0」は真だが「|x|>0ならばx>0」は偽

34 ：

f(f(x))=f(x)を満たすfはf(x)=x以外にf(x)=|x|とかf(x)=min(max(x,-1),1)とかf(x)=floor(x)とかいくらでもあるが。

35 ：

>>33-34
低脳

36 ：

(・∀・)ｲｲﾖｲｲﾖｰ

37 ：

まともで面白い問題キボンヌ

38 ：

pを7以上の任意の素数とする
このとき数列1,11,111,1111,11111,…の内少なくとも１つはpの倍数であることを示せ
※modを使えば一発だが、剰余計算は高校数学の範囲外なので使用してはならない。

39 ：

有名問題すぎる

40 ：

どうやろの？

41 ：

引き算
鳩ノ巣

42 ：

>>41 どういうことだ？

43 ：

>>38
1/p は循環小数として表示できる
1/p がn桁の循環小数だとすると
(10^n -1)/p = x (xは整数)　と表せる　-�@
一方で、1,11,111,…の一般項は(10^n -1)/9 である -�A
�@�Aより9とpは互いに素だから
(10^n -1)/9p は整数
よって1,11,111,…の第n項はpの倍数

44 ：

下手な解き方だなw　クズめ>.43

45 ：

>>42
pで割ったあまりが同じものが必ず出現する←ここで鳩ノ巣
その２つの数の差を考える←引き算

46 ：

1がp個並ぶところまでの数列を考えるとね
これらのpで割った余りがすべて異なるとするじゃん
このときは証明べきことが成り立つのは明らかなんで
やっぱり余りが同じになるものがあるときを考えよう
そしたらその差ってpの倍数になるわけだから

47 ：

>>44
では、あなたの解き方をどうぞ

48 ：

４３はわざわざ難しくしているw
頭の悪さがにじみ出ているね

49 ：

循環小数とか言っている時点で低脳君確定

50 ：

こういうセンスのない解き方をしている人には数学は無理
数学科進学はあきらめなさい

51 ：

僕はさらにもうひとつの解法を知っている

52 ：

>>46 差を取った時点でその数は数列1,11,111,…に含まれないだろ

53 ：

>>46
ここで、pが７以上の素数であることを使う。

54 ：

こんなもん知っているとかそんな話ではないだろ
初見でスラスら証明できんとな

55 ：

>>46
微妙によろしくない

56 ：

>>43以外にまともな解答を提示してる奴がいない件

57 ：

トリビアルだからな

58 ：

ヒントは出ているのだから自分で考えなさい

59 ：

>>53
使っても何も起こらないように思えるが。

60 ：

>>59
アホなの？
１０を割らないところで使うやろw

61 ：

10の倍数は2と7以外に素因数をもたない

62 ：

七？

63 ：

>>61 すげえ低脳　発見

64 ：

やっぱこのスレレベル高いな

65 ：

>>61
> 10の倍数は2と7以外に素因数をもたない
10のベキは2と5以外の因数をもたない

66 ：

>>60
割り切る割り切らない以前の問題として、
数列1,11,111,…の中の２つの項の差を取ったら11…100…00という数になって、
これは数列1,11,111,…に含まれないから>>46の解き方はよろしくないと言っている。

67 ：

>>66
問題はそこじゃねーよハゲ

68 ：

>>67
では、どこ？

69 ：

>>66
> >>60
> 割り切る割り切らない以前の問題として、
> 数列1,11,111,…の中の２つの項の差を取ったら11…100…00という数になって、
> これは数列1,11,111,…に含まれないから>>46の解き方はよろしくないと言っている。
え？
11…1100…00=11…1×100…00

70 ：

>>66
11…100…00は111..と１０のベキの積だろw
pはこのどちらかを割るわけだがw
後者は割らないところに７以上を使っておるわけよw

71 ：

なんで低脳が多いんだろw　数学科に進学なんて考えるなよw

72 ：

>>66の人は問題を理解していないと思う。

73 ：

>>69
すまん、書き方が悪かった。
11…1100…00 ってのは一の位からある位までは全部0で、
それより上の位が全部1である１つの数字を表してる。

74 ：

もういいよw

75 ：

それが何か？
あなたの書き方は十分に伝わっているが。

76 ：

>>75
> それが何か？
> あなたの書き方は十分に伝わっているが。
これは>>73に対してね。
で、11・・・1の方がpの倍数、ということ。

77 ：

次のカス問題プリーズ

78 ：

>>15
与式にy=0 を代入して
f(f(x))=3f(x)-1
与式にy=x-f(x) を代入して
f(x)=f(f(x))+2f(x)+6x-6f(x)-1
f(x)=-f(x)+6x-2
∴f(x)=3x-1
これは条件を満たす。

79 ：

>>15が未解決

80 ：

と思ったら>>78が解いてた

81 ：

今日はもう寝る
次来るときまでに問題たくさん用意しとけカス共

82 ：

　問題
　(n!)^7/n^n が整数となる最大の整数nを求めよ

83 ：

とりあえず7以下か

84 ：

いっぱいあるだろ

85 ：

>>43と>>46の解き方を比べると、
>>43のほうが記述が少なく済みそうだな

86 ：

>>83
n=8でも整数になったぞ

87 ：

東大入試問題厨がいないね

88 ：

正の実数x,yについて、x＾ｙ＋ｙ＾ｘ＞１　を証明せよ

89 ：

x+y+z=0のとき
(x^3-x^2)/(x^3+y^2+z^2) + (y^3-y^2)/(x^2+y^3+z^2) + (z^3-z^2)/(x^2+y^2+z^3) => 1
を証明せよ

90 ：

周の長さが８、内接円の半径が(√3)/4である三角形がある。
この三角形のある辺の長さとしてありうる最大値と最小値を求めよ。

91 ：

定規とコンパスを用いた作図において、
直線を１本引くまたは円を１つ描くことを１回の操作ということにする。
ここに中心の不明な円Cとその周上の点Aがある。
３回の操作で点Aにおける円Cの接線を書け。

92 ：

n=270270も整数となるね

93 ：

>>92
ならないだろ

94 ：

６０４８０。

95 ：

>>85 自演するなよw

96 ：

>>88
・x≧1 または y≧1 の場合は、明らか。
・x<1, y<1 のとき
　　f(x) = b^x (b>0) はxについて下に凸だから
　　(x,b^x)−(1,b) の傾き > (0,1)−(1,b) の傾き、
　　(b-b^x)/(1-x) > b-1,
　　b^x < x +b -bx, (ベルヌーイ不等式)
b→1/y とおくと
　　y^x > y/(x+y-xy),
同様にして
　　x^y > x/(x+y^xy),
辺々たす。

97 ：

>>96
　　b^x < 1-x +bx,　　(ベルヌーイ不等式)

98 ：

f(x,y)=x^y+y^x>1
=e^ylogx+e^xlogy
x=rcost,y=rsint
f=e^rs(logr+logc)+e^rc(logr+logs)
=e^(rlogr)(s+c)e^r(slogc+clogs)
df=frdr+ftdt
fr=

99 ：

fr=s((logr+logc)+1)e^rs(logr+logc)+(c(logr+logs)+1)e^rc(logr+logs)=0
(logr+logc)+1=0,r=e^(-1-logc)=1/ec=1/es->c=s
ft=r(c(logr+logc)-ss/c)e^rs(logr+logc)+r(-s(logr+logs)+cc/s)e^rc(logr+logs)=0
r(c(logr+logc)-ss/c)=0,rc(-logc-1+logc-1)=-2rc=0
r(-s(logr+logs)+cc/s)=0,rs(logs+1-logs+1)=2rs=0
r=0,f=0^0+0^0=2>1

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