高校数学の質問スレPART344
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1354080360/
【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
一から六の目を持つサイコロがあり、それぞれの目が出る確率は6分の1だとする。０≦ｘ≦18を満たす整数値を定義域として持つ関数ｆ（ｘ）を次のように定める。
f(x)=0 （x≧4 、ｘ=0）
f(1)＝1個のサイコロを振った目
f(2)＝2個のサイコロを振った目の和
f(3)＝3個のサイコロを振った目の和
例えばf(1)
はひとつのサイコロを振ることにより決まるのでその値は1から6のどれかとなる。下記の問いに答えよ。
問題1
以下の選択肢のうち関数f(x)
として定まり得ないものは
f(3)＝18
f(18)＝0
f(1)＝6
f(8)＝0
f(2)＝0
問題2
関数f(x)定まり方は何通りの場合があるか。
問題3
f(1)=f(2)=f(3)を満たす関数f（x）が定まる場合の確率はいくらか。
問題4
０≦ｘ≦18を満たすすべての整数に対してｆ（ｆ（ｘ））＝0となる関数ｆ（ｘ）が定まる確率。
場合分けがわかりません。
問一はf(2)＝0 が定まり得ないであっていますか？
他の問題はサイコロの目が独立かどうかで変わる
ありがとうございます。問題には独立かどうか書いていないんです。
f(1) が6
f(2) が、2から12までの数
なのかなと思っていますが。
っていう言葉が理解できない
ｆ（ｘ）は最初に定めたでしょ
独立だと解釈していいと思うよ。
独立でないなら、どう関連づけされるのか書かれていないから解答しようがなくなる。
だから、問題2は6*11*16通りだと思う。
問題3はf(1)=f(2)=f(3)=3、4、5、6となる確率の和、
問題4は4≦f(1)≦6かつ4≦f(2)≦12かつ4≦f(2)≦18となる確率。
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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略解は持っていますが模範解答というようなものがありません。
問題：
方程式 log_{5}(x-1) ＋ log_{5}(a-x) ＝ 1 が、異なる２つの実数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。
ただし a>1 とする。
私の考え：
log_{5}(x-1)(a-x) ＝ log_{5}(5)
(x-1)(a-x) ＝ 5
x^2-(a+1)x+(a+5) ＝ 0 … (1)
これが２つの実数解を持つには
判別式 (a+1)^2-4(a+5)>0
a＜1-√5 は a>1に不適なので
1+√5＜a …(2)
ここまでは 略解 ともだたい一致しています。
(2)は あくまでも (1)の方程式が２つの実数解を持つための条件であり
(2)が設問の必要条件であることはそれで示せたわけですけれども
これが十分条件にあたるかどうかは他に論証が必要なのではないかと思うのですが
どうでしょうか。
（略解はそこに触れていませんでした）
十分条件であることを示すためには、真数条件 a>x>1 を満足するかどうかを
示さなければならないのではないかと思うのですが、
それとも、なにかもっと簡単な方法で、(2)で十分なことが示す方法があるのでしょうか？
1/4の確率で底面にする操作を考える。1の目が出ているサイコロに
対してこの操作をn回繰り返す。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、1の目の裏面は6の目である。
(1)この操作をn回行ったとき、1か6の目が出ている確率をPnとする。P1,P2,P3を求めよ。
(2)Pnをnの式で表せ。
この(2)の問題なんですがn回目に1か6が出てたら(n+1)回目は出ないし
n回目に1か6が出ていなければ(1)から(n+1)回目は1/2の確率で出る。
後者の条件を式にするんだと思うんですがこの先どう考えていけば
良いのか分かりませんお願いします
漸化式
(x-1)(a-x)＝5 が成り立ってる場合、(x-1)と(a-x)は同符号だから
a>x>1 または a<x<1
a>1 は条件として与えられてるから a<x<1 は有り得ない
(1)a+bとbは互いに素であることを示せ。
(2)m=a+b,n=a^2+5ab+7b^2とおく。mが3の倍数でないとき,mとnは互いに素であることを示せ。
この問題を下のように解答したのですが、0/20点でした。
個人的に0はないと思うのですが、どこがおかしいのでしょうか？
また,20点満点で何点あるか採点もして頂けるとありがたいです。
(1)a+bとbが互いに素でないとする。
この時,a+bとbは約数rk(r>=2かつ正の整数)を持つと仮定すると
aとbは正の整数であるから
a+b/r,b/rはともに正の整数である。
また、a+b/r=a/r+b/rでa+b/r,b/rが共に正の整数より
a/rは正の整数。
この時aとbは互いに約数rをもち題意に矛盾する。
よって、a+bとbが互いに素という仮定が間違っているから
よってa+bとbは互いに素。 (証明終)
(2)mが３の倍数の時mとnは素であるとする。
a,bが互いに素でかつmが3の倍数になるa,bの組み合わせは、k,lを定数とすると
a=3k+1,b=3l+2
a=3k+2,b=3l+1のどちらか
(Ⅰ) a=3k+1,b=3l+2の時
n=(3k+1)^2+5(3k+1)(3l+2)+7(3l+2)^2
=3(3k^2+12k+15kl+21l^2+33l+13)
よってm,nは互いに素でないから矛盾。
(Ⅱ)a=3k+2,b=3l+1の時
n=(3k+2)^2+5(3k+2)(3l+1)+7(3l+1)^2
=3(3k^2+9k+15kl+21l^2+24l+7)
よってm,nは互いに素でないから矛盾。
ゆえに題意の逆が矛盾だったため、題意は正しい。
よって、mが3の倍数でないとき、mとnは互いに素である。 (証明終)
改行し忘れて見づらくなりました。
すいません
真数条件
見事なまでにｇｄｇｄ
たくさん書いたで賞ボーナスでもない限り、誰が採点しても0点
(1) a>0, b>0 とはどこにもない、自分でこのパターンを設定（場合分け）したとも受け取れない
(2) 示すべき命題の逆を示して点を貰えるわけない
すいません。
前提条件が 『aとbとは互いに素の正の整数とする。 』でした。
(2)で題意の逆か裏が矛盾だと示したら、
題意を示したことになると思っていたのですがそうではないのですか？
「私の考え：」の次に書いてある一行に乗っている式は最初の方程式と同値ではないことを認識してる？
a>1という仮定から結果的には1<x<aが出てくるので、誤りに陥ることから救われているが。
あと十分性の確認は必須。すなわち、a>1+√5なら(1)の2実解が1<x<aを満たす、を示す。
おそらく、OC↑：OD↑=OC：ODを変形したものだと思ってます
ベクトルと辺って比較しても大丈夫なのでしょうか？
違うよ。
OD↑/OD はOD↑方向の単位ベクトル。
それにOCをかけることで、右辺全体はOD↑方向で長さがOCのベクトルをあらわしている。
それは OC↑ のこと、つまり左辺。
ありがとうございます！単位ベクトルでしたか。
基礎が分かってなくていきなりこの式が出てきたため
変な誤解してました。
逆を仮定して矛盾が生じるならばもとの命題は真
だったら世の中に同値(必要十分)な条件というものはなくなってしまうな
あと(1)の結果を使ってみようと考えて欲しいな
合成させないなんて問題作った人、裏をかき過ぎ
そこはわかっています。
1+√5＜a であればa>x>1 であることを示す必要があるのではないか
もしくはもっと簡単にそれをいう方法があるのかと問うているのです。
>>16
真数条件がなんでしょうか？
a>x>1 であることはわかっていますが、なにか他にありますか？
>>20
10に 「十分条件であることを示すためには、真数条件 a>x>1 を満足するかどうかを…」
と書いている通り、それは認識しています。 a>1という仮定はなくても真数条件より a>x>1だと思います。
逆になぜその仮定a>1が追加されているのかの理由はよくわかりません。
（もしかしてヒントとして、でしょうか？）
＞あと十分性の確認は必須。すなわち、a>1+√5なら(1)の2実解が1<x<aを満たす、を示す。
やはり十分性は必須ですよね。
対数の問題としてはあまりたいしたことのない（初歩的なセオリー通りのという意味）問題なのに
かえってa>1+√5なら(1)の2実解が1<x<aであることを示すほうが難度が高いように感じたので
略解がそこに触れていないのは、なにかうまい方法があるかと疑ったのですが、特にそういう
わけではないのでしょうか。
複素数じゃない場合ってあるの？
例えば a＋b=0, ab=1 とすると
a, b は x^2+1=0 の根で、複素数の範囲なら ±i しかないけど
四元数の範囲だと無限個の解がある(当然、複素数じゃない)
何の条件にもなってないな
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面白いから考えてみろって言われたんですが、なかなか見つかりません、教えてください。
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論理的に考えてみようか
微分可能ってのは接線が存在するのと同義だが、接線の傾きが変化しなかったら導関数が不連続になりっこない
つまり接線の傾きは変化しなきゃならんが無限大に発散したら微分可能でないから変化は有限な範囲の振動でなきゃならん
そこで導関数が不連続になる1点Aがあるとして、その点と近くの点Bを結んだ線の傾きを考えると振動してる必要があるが
点間距離を0に近づけたら微分可能だから傾きは収束しなきゃならん。
単に連続ならAから楔形に広がる範囲にBがあれば良いが、傾きも収束だから楔の角度も0に収束するカスプ形になる
つまり振幅が2次関数で0に収束する振動だ
もう見当がつくだろう
この方程式が二つの相異なる2つの実数解を持つ条件は
-4√3cos^2θー2sinθ>0
どうしてですか？？
x軸より下のy<0の部分はホントどうでもいい
左辺が正の数同士の席だから(右辺)>0でなければならないってことですか？
左辺の値域が非負の実数すなわちy>0だから、
右辺もy>0でなければならない
なるほど！
重解は含まないんですか？
この問題以外の場合のときに重解でもy>0になるんじゃないかと思ったので(´･ω･`)
4x^2はいつでも正なので
解は1つでも2つでも同じではないのかなぁ、と
A=0 なら 重解（±0 つまり 0だけ）、ということなのだけど。
ああ！なるほど！！
やっとわかりました(・。・;理解力がなくてすみませんでした・・・
ありがとうございます！
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（ ( ・ω・） ブーブー
しー し─Ｊ
正しい。
直線内の線分ベクトルを(Δx,Δy)とすると
(a,b)・(Δx,Δy)=a Δx＋b Δy＝0
そう書くと、そういう方向ベクトルはそれしか無いかのようだ。
集合Aを凸集合であると示すには、
集合Aの任意の二点を結ぶ直線がすべてAの要素であると示せば良いのでしょうか？
どのように書けば良いのでしょうか
> 集合Aの任意の二点を結ぶ直線がすべてAの要素であると示せば良いのでしょうか？
集合Aの任意の二点を結ぶ線分上の点がすべて
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7463960.html
失礼しました。2点を結ぶ線分上の点でした。
>>63
ありがとうございます。
しかし回答で何をやっているのかさっぱりわからないので諦めます。
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（ ( ・ω・） そーそー
しー し─Ｊ
定数倍は自明だからいーんじゃない？と思ったら a=b=0 が困るな。ま、大雑把なレベルということで
>>61
∀a,b∈A ∀p [ |p－a|+|p－b|=|a－b|→p∈A ] でもいいな
ひょっとして、答を書いてほしかった？
平面内の直線とy=x^2の交点が高々2個であることを使えばよい。
型通りに証明をつけるとすると、たとえば、次
A={(x,y)|y≧x^2}∋P,Qを任意にとる。
P:(a,b)、Q:(c,d)とおけば、b≧a^2、d≧c^2をみたしている。
線分PQ上の任意の点Rをとれば、RはPQを内分する点であるから
内分比をx:y（ただし、x,yは非負実数でx+y=1)とおき、R:(e,f)とすると
e=ya+xc、f=yb+xdである。 f-e^2≧0 が示されればよい。
f-e^2=yb+xd-(ya+xc)^2≧ya^2+xc^2-y^2a^2-2xyac-x^2c^2
=y(1-y)a^2-2xyac+x(1-x)c^2=xy(a-c)^2≧0
よって集合Aは凸集合である。
内分する点を利用するのですね。
本当にありがとうございました。
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しー し─Ｊ
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレっては馬と鹿と豚さんと私だけね。
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（ ( ・ω・） ブーブー
しー し─Ｊ
f(x)＝|x－1|＋2について、定義域が0≦x≦3のとき値域を求めよ
という問題なのですがどう手をつけたらいいのか困っています。
初歩的なことで申し訳ありませんが、どうかどなたか教えて下さい。
f(x)＝|x－1|
f(x)＝|x－1|＋2
の３パタンをやる
グラフ描けば一目だろ
>>78とすると
0≦|x|≦3
－1≦|x－1|≦2
1≦|x－1|＋2≦4
こうなってしまいます・・・どこが違うんでしょうか
0≦|x|≦3 から －1≦|x－1|≦2 とするのが誤り
y = |x| を x 方向に +1 平行移動したグラフが y = |x-1| と捉えないと
グラフ使ってないだろ
という記述は正しいが
直線 ax + by + c = 0 の法線ベクトルは (a, b) である
という記述はちょっとマズイ、ということやね。
int n = 100;
ArrayList<Integer> ar = new ArrayList<Integer>();
ar.add(2);
for(int i = 2; i < n; i++){
int count = 0;
for(int a:ar){
if(i % a == 0){
count++;
break;
}
}
if(count ==0){
ar.add(i);
}
}
int max = 0;
int maxnum = 0;
for(int i =0; i < ar.size()-1; i++){
if(max < ar.get(i+1) - ar.get(i)){
max = ar.get(i+1) - ar.get(i);
maxnum = ar.get(i+1);
}
}
System.out.println(max + " , " + (maxnum - max) + "-" + maxnum);
}
8 , 89-97
6,90-96か
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
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素数を列挙しろ
int n = 100;
ArrayList<Integer> ar = new ArrayList<Integer>();
ar.add(2);
for(int i = 2; i < n; i++){
int count = 0;
for(int a:ar){
if(i % a == 0){
count++;
break;
}
}
if(count ==0){
ar.add(i);
}
}
int max = 0;
int maxnum = 0;
for(int i =0; i < ar.size()-1; i++){
if(max < ar.get(i+1) - ar.get(i)){
max = (ar.get(i+1)-1) - (ar.get(i)+1);
maxnum = ar.get(i+1)-1;
}
}
System.out.println(max + " , " + (maxnum - max) + "-" + maxnum);
}
こうだな
【円安】 自民党の石破茂幹事長、適度な円相場「１ドル＝85～90円ぐらい」★３
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1356127992/
財務省のとあるデータでは
円相場は87円位が「財務省にとって」都合よくてそこらへんに収めたいらしい。
許すな！！
計算していったらrの値で場合分けがあってr=0のとき係数10、r=1のとき係数20ってなったんだけど
答え見たらなぜか場合わけした値を足して係数が30ってのが答えになってたんだけど
意味わからん
問題を省略しないで全部書け。
馬鹿が省略すると文章が通らない事がよくある。
やっとわかりました！ありがとうございます！
２０代の、ニートの、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
R！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
(1+x+x^2)^5を展開したときのx^3の係数を求めよ。
解)一般項は5!1^px^q(x^2)^r/p!q!r!(ただしp+q+r=5・・・①)
5!1^px^q(x^2)^r/p!q!r!＝5!x^(q+2r)/p!q!r!であるから
x^3の係数を求めるから、q+2r=3・・・②
①，②をともに満たす負でない整数(p,q,r)の組を求める。
②から、q=3-2r≧0 すなわち r≦3/2
ゆえに、r=0,1
r=0のとき、①②よりq=3,p=2
r=1のとき、①②よりq=1,p=3
したがって、x^3の係数は5!/2!3!0!＋5!/3!1!1!＝10+20＝30
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ン
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