★★並んだ数字から一般項を当てるスレ★★

1 ：2011/03/09 〜 最終レス ：

規則的に並んだ数字をいくつか羅列して、そこから一般項を当てるスレです
答えの一般項を考えていない適当な数字の羅列は駄目です！
複雑な一般項でも良いので、ちゃんと式として存在するものから
数列をつくってください。
それだけの数字の羅列だと、こんな一般項でもいけるじゃない！
といった反例も大歓迎です！！
では、すたーと！

簡単なものから･･･
１，１，２，３，５，８，１３・・・

2 ：

21,34,55,89・・・

3 ：

次の問題だしてくれ

4 ：

高々有限個の項にあてはまる一般項なんていくらでも作れるのではないかね

5 ：

出題者の意図する規則を当てるエスパースレでいいだろう

6 ：

では
1,2,4,8,15…

7 ：

>>6
4=1+2+1
8=2+4+2
15=4+8+3
A1=1,A2=2
An=An-2+An-1+(n-2)

8 ：

>>6
ｘ＝１でｙ＝１
ｘ＝２でｙ＝２
ｘ＝３でｙ＝４
ｘ＝４でｙ＝８
ｘ＝５でｙ＝１５　を通るような５次関数で

9 ：

適当な数字の羅列でも
有限個であれば、ｎ次関数で解決！！

10 ：

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57,...
という数列がある。
(1)　この数列の法則を述べよ。
(2)　この数列の第n項をa(n)とすると、a(n+5)=a(n)+6を満たす最小のa(n)を求めよ。
ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/237

11 ：

>>10
すべて素数ではないけど・・・

12 ：

>>10
素因数に2乗以上がない合成数？

13 ：

素因数の指数が2未満の合成数。

14 ：

1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,・・・

15 ：

>>14　√2*Sin(kπ/2-π/4)　,k=1,2,3,...

16 ：

1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,・・・
(1と1の間に入る0の個数が1,2,3・・・)

17 ：

全部で１２項
3,2,3,2,2,3,3,3,2,4,6,○
最後はいくつ？
一般項ではないが

18 ：

>>16　[]をガウス記号、a(k)=(1+√(1+8k))/2　として、[[a(k)]/a(k)]　,k=1,2,3...

19 ：

>>18
正解

20 ：

村八分。
猫

21 ：

1,12,123,1234,・・・,1234567890,12345678901,123456789012,・・・

22 ：

村八分。
猫

23 ：

１本５０円の棒付きアイスキャンディがあり、食べ終わった棒を４本もって行くと
おまけにもう１本くれるという。
a円持って行ったときに、おまけも含めて食べることができる
アイスキャンデーの本数を式に表し、aに50の倍数を代入して
数列を作れ。

24 ：

>>21 [10^k*1234567890/9999999999] ,k=1,2,3...

25 ：

50円　アイス１本
200円　アイス4本＋1本＝5本
250円　アイス5本＋1本＝6本　余った棒１本
400円　アイス8本＋2本＝10本　　

26 ：

>>24
正解

27 ：

1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,・・・

28 ：

あ

29 ：

1+arcsin(|sin((k-1)π/6)|)
ってカンジでどうでしょうか??

30 ：

>>29
違う、ちょっと書き損ねた…
>>27
1+6arcsin(|sin((k-1)π/6))/π
ってカンジで…

31 ：

連レスすいません。
絶対値の右が抜けてた
1+6arcsin(|sin((k-1)π/6)|)/π

32 ：

地震なのにくだらないことやってるな

33 ：

>>31
正解

34 ：

1,3,2,4,3,5,4,6,5,7,6,8,7,9,8,10,9,11,10,12,11,13,12,14,……………

35 ：

(n + 1)/2 + (3/4)*(1 + (-1)^n)= n/2 + 5/4 + (3/4)*(-1)^n
とか、
n/2 + 2^((-1)^n)

36 ：

[sage]
二つ目正解

37 ：

1,4,3,2,9,8,7,6,5,16,15,14,13,12,11,10,25,24,23,22,21,20,19,18,17,36,…
って出来る人いる??
思いついたけど俺じゃ出来なかったから書いてみる。

38 ：

>>37
[]をガウス記号,|x|を実数xの絶対値とする
N=[√n+1]
M=(N^2-n)(N^2-N-n)
K=N/|N|
とおく
a[n] = K * (4N/π) * Sin|ArcSin(n/(2N)*π)| + n

39 ：

>>38
訂正
誤:K=N/|N|
正:K=M/|M|

40 ：

1,2,4,8,16,31,57,99,･･･
一般項が大変だったら、法則だけでも。

41 ：

>>38
再度訂正
誤:M=(N^2-n)(N^2-N-n)
正:M=(N^2-n)(N^2-N+2-n)

42 ：

>>40
nCr=Γ(n+1)/(Γ(r+1)Γ(n-r+1))
とすれば、n<rの時は
nCr=0
と解釈出来る。
この解釈のもとで一般項は
Σ(k=0,2)nC(2k)

43 ：

>>38+39+41
すごっ
どうやったんだ??

44 ：

>>43 >>18と31 のテクニックの応用　だろ
だれか>>10にチャレンジしない？　>>13は　4や9があるし、2*3*5=30も無いからはずれ

45 ：

>>43
1,4,3,2,9,8,7,6,5,16,15,14,13,12,11,10,・・・
から
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,・・・
を引くと
0,2,0,-2,4,2,0,-2,-4,-6,4,2,0,-2,-4,-6,・・・
この数列の一般項を求めればいい

46 ：

そもそも>>18はどうやって求めたんだ??

47 ：

>>46 1のある場所は1,3,6,10,...=C(a,2)=(1/2)(a^2-a)
これをkとおいて、aについて解くと、a=(1+√(1+8k))/2
つまり、aは、k=1,3,6,10,...の時にだけ、整数になる。
だから、[a]/aは、k=1,3,6,10,..の時にだけ1になり、それ以外では、1未満。
従って、[[a]/a]とすれば、>>16が実現
あと、>>35の一つ目も正解だろ

48 ：

おお!!
すげぇな。
ありがと。

49 ：

ｷｬｽﾌｨ中学板より
1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,7,8,9,8,9,10,…

50 ：

1+[(k+1)/3]+[k/3]-[(k-1)/3]

51 ：

正解です。他には
1+[(n+1)/3]+[3[n/3]/n]
とか…

52 ：

1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,……

53 ：

>>52　>>18の数列を二倍し１を引く

54 ：

正解。
1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,…

55 ：

a(k)=[{1+√(1+8(k-1))}/2]として、k-a(k)(a(k)-1)/2　,k=1,2,3,...

56 ：

正解

57 ：

4,4,8,4,4,1,7,4,6,5,・・・

58 ：

>>57 法則が見えない。もっとサンプルを

59 ：

>>57を少し修正
4,4,8,4,4,1,7,4,6,4,9,5,5,7,・・・
ヒントは2011

60 ：

4,4,8,4,4,1,7,4,6,4,9,5,5,7,3,2,6,8,6,7,
8,7,0,0,5,0,5,4,7,3,3,5,5,8,6,4,3,2,8,9,
1,9,9,0,2,3,9,1,6,4,3,4,4,0,5,3,8,9,8,5,
7,1,0,9,2,5,0,5,4,3,4,6,5,6,9,0,9,5,3,8,
0,1,8,2,5,6,2,4,0,0,0,5,3,7,0,3,7,9,5,…

61 ：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,1,9,2,0,……
俺は解らなかったがここなら出来る奴はいるんじゃない??
だれかやってみてくれ。
解き方もよろ。

62 ：

ax^2+bx+c=0 (aは０ではない）の時
２根をα、βとして
An=(α^n-β^n)／(α-β) と定める。
A1,A2,A3をa,b,cで表し
このとき、AnをAn+1　An-1を用いて表せ。
Anをa,b,cで表せ。

63 ：

>>62
フィボナッチくさい
a=c=1
b=3

64 ：

>>62
それの３次方程式版をみた気がする・・・
どんな形だったかな・・・
An=(α^n+β^n+γ^n)／(α+β+γ)だったっけ・・・

65 ：

ax^2+bx+c=0 (aは０ではない）の時
２根をα、βとして
An=(α^n-β^n)／(α-β) と定める。
このとき
Anは必ず有理数になることを示せ

66 ：

>>61
【考え方】
a[N]=1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,1,9,2,0,…… (N=1,2,3,・・・)
a[10]=1(＝10の2桁目)
a[11]=0(＝10の1桁目)
a[12]=1(＝11の2桁目)
a[13]=1(＝11の1桁目)
・・・
a[10+2*x](＝10+xの2桁目)
a[190+3*x](＝100+xの3桁目)
⇒N=1+9+2*90+…+n*9*10^(n-1)+(n+1)*xのとき,a[N]は
整数(10^n+x)の(n+1)桁目の整数に等しいことがわかる。(0≦x≦9*10^(n-1)-1)
また、a[N+k]はa[N]の(n+1-k)桁目にある整数に等しい。(0≦k≦n)

【計算】
[]をガウス記号とする。
aを正の実数,nを0以上の整数とする
f(n,a) = [a/(10^(n-1))]-10*[a/(10^n)]
g(n) = 1 + (9*n*10^n-10^n+1)/9とおく
0≦k≦n,0≦x≦9*10^(n-1)-1となる整数k,xを用いて、
N = g(n) + (n+1)x + kとおく
1≦N<9のとき
a[N]=N、
N≧10のとき
a[N] = f(n+1-k,10^n+x)

67 ：

An+1-An=(β/α)^n
An-An-1=(β/α)^(n-1)
An+1-An+(β/α)(An-An-1)=0
An=1/((β/α)-1)((β/α)An-1-An+1)=(αAn+1-βAn-1)/(α-β)
α、β=(-b+-(b^2-4ac)~(1/2))/2a
(α-β)=(b^2-4ac)~(1/2))/a

68 ：

>>66
訂正
誤:
aを正の実数,nを0以上の整数とする
正:
a,nを1以上の整数とする

69 ：

>>66
再度訂正
二つミスを見つけたので訂正します。
誤:
また、a[N+k]はa[N]の(n+1-k)桁目にある整数に等しい。(0≦k≦n)
正:
また、a[N+k]は(10^n+x)の(n+1-k)桁目にある整数に等しい。(0≦k≦n)
誤:
1≦N<9のとき
正:
1≦N≦9のとき

70 ：

わ…
すごい……

71 ：

0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111,10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111,11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111,………

72 ：

↑↑
思いつくのは簡単なんだがね……
一般項は求めれない…
解き方もよろしくお願いします……

73 ：

解くのも簡単だったね……
そんなにムズくなかった。
まぁでもやってみてくれ。

74 ：

>>62
Anをa,b,cで表せ。 としても
所詮は２次方程式なんだから
αβはabcで解き下せるだろ！！
ルートが常に消えることを臭わせたいなら
>>65のように、有理数となることを示せ！というのが定石！！

75 ：

>>64
3次方程式版は、分母を分子で因数分解できないから無理だな･･･。
有理数になれば素敵だが
つねに３乗根とルートを消せる必要があるので無理だろう。

76 ：

トリボナッチは
３次方程式の解と係数の関係では？？？

77 ：

トリボナッチ数列の一般項は面白いが
３次方程式の全ての係数が１というのが面白くない。
√３３とか中身が決まってしまうから。
これをabcdで一般化したら、面白そう！

78 ：

Ｔn+3　＝　Ｔn　＋　Ｔn+1　＋　Ｔn+2　
これを
dＴn+3　＝　aＴn　＋　bＴn+1　＋　cＴn+2　
という感じだな。

79 ：

次のレスが書き込まれるまでの
時間を数列にしてくれ！
単位は　秒でも分でも時間でも

80 ：

テトラボナッチの一般項
どこ探してもない・・・
ペンタボナッチは一般項作れないんだろうか？
係数が全て１なら可能だろうか

81 ：

ペンタボナッチ数列
その一般項は
Ａｎ＝ ２^（n-1）

82 ：

1,0,1,2,3,1,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,3,1,2,3,1,4,1,2,3,1,5,1,2,3,1,6,1,2,3,1,7,1,2,3,1,8,1,2,3,1,9,1,2,3,1,10,1,2,3,1,11,1,2,3,1,12,1,2,3,1,13,1,2,3,1,14,1,2,3,1,15,1,2,3,…

83 ：

1,0,0,2,0,0,3,0,0,4,0,0,5,0,0,6,0,0,7,0,0,8,0,0,………………………………

84 ：

>>82
a(k)=(k+3)/5、b(k)=|(|k-1-5*[(k-1)/5]|)-1| として、
(a(k)-1)*[[a(k)]/a(k)] + b(k)*(1-[[a(k)]/a(k)])
>>83
c(k)=(k+2)/3として、
c(k)*[[c(k)]/c(k)]
いずれも、k=1,2,3,...

85 ：

b(k)=|(|k-1-5*[(k-1)/5]|)-1|としたけど、
k-1-5*[(k-1)/5]≧0なので、内側の絶対値記号は必要ありませんでした。よりシンプルな
b(k)=|k-2-5*[(k-1)/5]|　へ修正。

86 ：

お見事。

87 ：

>>83
n/3*[|cos(2π/3*n)|]+1 (n=0,1,2,3,・・・)

88 ：

4,4,3,3,5,8,10,10,9,9,11,14,16,16,15,15,17,20,22,22,21,21,23,26,28,28,27,27,29,32,・・・

89 ：

2cos((k-1)π/3)+k+1　,k=1,2,3,...

90 ：

>>71
a(n)=10^[log_{2}(n)]+a(n-2^[log_{2}(n)]) (ただしa(0)=0)
挑戦してみたけど、もっとエレガントな解答があるんだろうか

91 ：

１のとき　{n(n+1)}/2
２のとき　{n(2n+1)(n+1)}/6
３のとき　{{n(n+1)}^2}/4
４のとき　{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}/30
・・・
では、Ｐの時は？

92 ：

>>91
s[0]=n
(m+1)*s[m]=(n+1)^(m+1)-1-Σ[i=0,m-1]C(m+1,i)*s[i]
という漸化式が成り立つ。
ex.
2*s[1]=(n+1)^2-1-Σ[i=0,0]C(2,i)*s[i]=n^2+2n-1*n=n^2+n
3*s[2]=(n+1)^3-1-Σ[i=0,1]C(3,i)*s[i]=n^3+3n^2+3n-n-(3/2)(n^2+n)=n^3+(3/2)n^2+(1/2)n=(n/2)(n+1)(2n+1)
4*s[3]=(n+1)^4-1-Σ[i=0,2]C(4,i)*s[i]=n^4+4n^3+6n^2+4n-n-2(n^2+n)-2(n^3+(3/2)n^2+(1/2)n)=n^2(1+n)^2
...

93 ：

>>91-92

ファウルハーバーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A6%E3%83%AB%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html
http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html

http://izumi-math.jp/H_Katou/bekiwa_g/bekiwa_g.pdf

94 ：

>>91　アルハゼン(10〜11世紀)の方法
縦=(n+1)、横=(1^k+2^k+...+n^k)の長方形の面積を考えることにより、
(n+1)×(1^k+2^k+...+n^k) = (1^(k+1)+2^(k+1)+...+n^(k+1))　+　{1^k+(1^k+2^k)+...+(1^k+2^k+...+n^k)}
i.e. (n+1)Σ[i=1,n]i^k = Σ[i=1,n]i^(k+1) + Σ[i=1,n]Σ[j=1,i]j^k
Σ[i=1,n]1=nを既知として、k=0を代入すると
左辺=(n+1)Σ[i=1,n]1=n(n+1)
右辺=Σ[i=1,n]i + Σ[i=1,n]Σ[j=1,i]1=Σ[i=1,n]i + Σ[i=1,n]i=2Σ[i=1,n]i　からΣ[i=1,n]i=n(n+1)/2
k=1を代入すると、
左辺=(n+1)Σ[i=1,n]i=n(n+1)^2/2
右辺=Σ[i=1,n]i^2 + Σ[i=1,n]Σ[j=1,i]j=Σ[i=1,n]i^2 + Σ[i=1,n]i(i+1)/2 = (3/2)Σ[i=1,n]i^2　+　n(n+1)/4
から、Σ[i=1,n]i^2　= (2/3){n(n+1)^2/2 - n(n+1)/4} = n(n+1)(2n+1)/6
以下同様

95 ：

2 10 18 29 42

96 ：

1 3 4 6 8 10 12

97 ：

猫

98 ：

これは分かるかな・・・ニヤリッ・・・
２１
３７１
７０７１
１３５７７９

99 ：

２１
３７１
７０７１
１３５７７９
２６０６２６１
５００２８７５５
９６０３３５１７３
１８４３４２７６０３５
３５３８５８２６６９６５
６７９２５４６２９１２５１

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