》╋|||《数学オリンピック 23》|||╋《

1 ：

数学オリンピック財団 http://www.imojp.org/
国際数学オリンピック公式サイト http://www.imo-official.org/
関連オリンピック：
算数 http://www.sansu-olympic.gr.jp/
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》|||《数学オリンピック 22》|||《
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1311090803/
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・オシャレの話禁止
・開成が冷遇されたと被害妄想しない

2 ：

2get
1乙

3 ：

前スレ986
986 ：１３２人目の素数さん：2012/01/09(月) 19:19:35.65
11番って答え４？
流石にnは答えに含まれるんじゃないかな、と思っているが。

4 ：

オsック

5 ：

おつです
今年の答えは今のところ
10
70
72
138
2^15･3^5(=7962624)
39800(200･199)
12/√21(=4√21 /7)
201
8,9,10,13,17,19,27
1172
??
13√3
11番を誰か

6 ：

今のところ求められているのは
9と12番のうまい解法と11番の答え
か。時間の関係で捨てたけど解いてみるか。

7 ：

>>6
９は普通に計算しても１０分もかからないからいいんじゃねｗ

8 ：

11の条件満たす例って
偶数行（列）目塗って奇数行（列）目塗らない
↑の入れ替え
の４通りしか思いつかないんだけど・・
他にありますか？

9 ：

■■■■　■■□■
□□□□　□□□■
■□■□　■□□□
■□■□　■□■■
とか

10 ：

>>8
■■■■
□□□□
■□■□
■□■□
こうゆうのもあると思います。

11 ：

かぶりました。

12 ：

ありがとう。
俺落ちたわ・・・

13 ：

5って、24の80乗とかダメですか?

14 ：

24^80の約数のうち
24^79
24^78
24^77
だけでも
かけたら24^240を越えてしまいます

15 ：

24の五乗なら正解

16 ：

あ‥‥

17 ：

8番を瞬する方法ってありますか？
全部書き出したわけではないですが
僕のやり方かなり面倒だったので...

18 ：

1〜6について書きだしといて
２つ目が44〜37なら３つ目は1〜6
36〜26なら1〜5
って感じにすればある程度はすぐ解ける

19 ：

１０番があまりにも不安なのでＣ言語でプログラムつくって数えあげたんだが、
結果1172だった。さらにn=999まで数えたら172だったから多分合ってる。

20 ：

18
ありがとうございます
数え方の問題みたいです
考え方はだいたい同じなので

21 ：

１１番は形は決定できたが数えられない……。

22 ：

10は1172みたいですが
手計算ではどうやって出すんですか？
1000の前後で考えてわからなくなって放棄しました。。。笑

23 ：

１０番
n≧1000については1000個。
また1000000/n-1000000/(n+1)>2、つまりn<707ついては条件を満たすことはない。
1000>n≧707については、
[1000000/n]の値が、n=999〜707について1通りあり、293種類。
1414<1000000/707<1415なので、この間に整数は414個。
よってこれは
「一列に並べた414個の箱に293個の玉を、1つの箱に1つまで入れていく。
両端の箱には必ず入れ、空き箱が連続しないようにするとき、玉の入った箱同士が隣り合う箇所はいくつあるか」
という問題と同義で172個。
計1172

24 ：

>>23補足
414個の箱っていうのが、
[1001,1002),[1002,1003),……,[1414,1415)
の414個の区間のことで
293個の玉っていうのが
[1000000/999],[1000000/998],……,[1000000/707]
の293個の値のこと

25 ：

ありがとう。1414とか707って値は出てました。
あともうちょいだったのかー。
とりあえずなんか数字書いたけど何て書いたんだっけなー

26 ：

だれかJJMOの問題もってない？

27 ：

[7]をベクトルで解いたら計算がグロかった。
OA=OB=7、AB=11より\vec{OA}・\vec{OB}=-23/2
\vec{OD}=-\vec{OE}=(3\vec{OA}+8\vec{OB})/11より、
OD^2 = (1/121)*[(9+64)*49-24*23]=(3577-552)/121=3025/121=25、よってOD=5
\vec{AE}=-(14\vec{OA}+8\vec{OB})/11より、
AE^2 = (4/121)*[(49+16)*49-28*23]=(4/121)*(3185-644)=(4*2541)/121=(4*121*21)/121=84
従ってAE=2\sqrt{21}を得る。
\vec{AC}=t\vec{AE}とすると、OC=7より、
OC^2 = 49 = (1/121)*[[(11-14t)^2+64t^2]*49+23*8t*(11-14t)]を得る。
これを解くとt=0,　9/7。
従ってCE=(2/7)AE=4\sqrt{21}/7

28 ：

やっぱ初等幾何的にやったらスッキリ出来るように
問題作られてんですね
って思ったら12番も...

29 ：

11　2・C[2n,n]
合ってる？

30 ：

>>29
n=2の時
■■■■　　□□□□　　■□■□　　□■□■
□□□□　　■■■■　　■□■□　　□■□■
■■■■　　□□□□　　■□■□　　□■□■
□□□□　　■■■■　　■□■□　　□■□■　　４通り
□□□■　　■■□■　　■■□■
■■□■　　□□□■　　□□□■
□□□■　　■■□■　　□□□■
■■□■　　□□□■　　■■□■　　の回転で計１２通り
■■□■　　■□■■
□□□■　　■□□□
■□□□　　□□□■
■□■■　　■■□■　　２通り
で１８通りあるから残念賞

31 ：

>>30
n=2のときは31通りじゃね？
■■□■
□□□■
□■□■
□■□■とかあるでしょ．

32 ：

11番はプログラム回すと
n=1のとき4
n=2のとき36
n=3のとき400
になる

33 ：

>>30
ありがとう。落ちた。
{C[2n,n]}^2だろうか。

34 ：

>>26
最後の問題だけ書くわ
円Xは四角PQRSに内接している。円AはQRの延長線、PSの延長線、SRに、円BはQPの延長線、RSの延長線、PSに、円CはSPの延長線、RQの延長線、PQに、円DはPQの延長線、SRの延長線、QRに、接しているという。
円A,B,C,Xの半径はそれぞれ2,1,4,3であった。
このとき円Dの半径を求めよ。
自分は8になったけど、だれか分かる人いる？

35 ：

■■□■　　■■□■　　
□□□■　　□□□■　　
□■□■　　■□□■　　
□■□■　　■□□■　　の回転・鏡像が８通りで計２６通りまでは理解
残りを教えれくれ……

36 ：

■■■■
□□□□
□□□□
■■■■と、

37 ：

一般に2n×2mに2mnマス塗るとき、{C[(m+n),m]}^2通り？

38 ：

今年のボーダーって９点くらいかな？

39 ：

>>35
2×2のブロックn^2個に分けて，
田の上を塗ったのをT,下を塗ったのをB,左を塗ったのをL,右を塗ったのをRとし，
たとえば
■■□■
□□□■
□■□■
□■□■
はTRRRと左上，右上，左下，右下の順に書くことにすると，
LLLL,LLLB,LLBB,
LTLT,LTLL,LTLB,LTLR,LTBB,LTBR,
LBLB,LBBB,LRLB,LRLR,
TTLT,TTLL,TTLB,TTLR,TTTT,TTTR,TTRR,TTBB,
TRLB,TRLR,TRTR,TRRR,
BBBB,BRBR,BRBB,RRBR,RRBB,RRRR
の31通りかなと．

40 ：

９点はまずない
８点じゃね？

41 ：

8なら救われる。。。
9とかマジでやめてほしい...

42 ：

>>38
マジで？確かに今年は高得点者が多いが去年の８点ボーダーでさえ異例の高さだったんだぞ。
まあ、俺の目は願望で曇りまくっているから何ともいえんな。

43 ：

去年よりもずいぶん簡単だったし
受験者数も激増だろうから、9点に100万ﾍﾟｿ

44 ：

答えとか考え方見たら簡単に見えるけど
実際解くのって難しいと思うよ？
まぁ自分の目も願望で曇りまくってるけど(笑)

45 ：

>>43
去年より若干簡単なのは認める。
しかし、受験者数激増はどういう理由で？
それに灘、開成あたりの受験者が増えるのと記念受験者が増えるのとで
ずいぶん結果が変わるが。
まさか前者か

46 ：

>>45
2007あたりから急増し始めてる
その傾向が続くならことしは2500以上は受験してるはず
5年ほど前までは1000人くらいだったのになｗ

47 ：

OK 36通り理解
■■□■　　□■□■
□□□■　　□■□■
□□□■　　□■□■
■■□■　　□■□■　　×４（回転）
□□□■　　■■□■　　■■□■　　
■■□■　　□□□■　　□□□■　　
□□□■　　□■□■　　■□□■　　
■■□■　　□■□■　　■□□■　　×４（回転）×２（鏡像）
■■■■
□□□□
□□□□
■■■■　　×２（回転）
■■□■
□□□■
■□□□
■□■■　　×２（鏡像）

48 ：

11番やっと解けた。
C(2n,n)^2 です。既に出てますね。

49 ：

>>46
確かに凄い増え方だが、合格点の推移を見ると母数との相関性があまり無い気もする。
当然難易度と照らし合わせて。
結局重要なのは上位100人の趨勢だろう。今年は確かに簡単だったが、時間内に解けるのは１０問、
ＩＭＯ行くやつでも１１問ぐらいが限度じゃないか。流石に１０点と９点で100人は無いと思う。

50 ：

１２点〜９点で５０人
８点が１００人
みたいなことになったらどうするんだろう？

51 ：

解法の概略です。
ｎ×ｎのますを、「あるますが赤なら、それより左にあるます、下にあるマスは赤」となるように赤白で塗る。（塗り方１）
それとは別に、「あるますが青なら、それより右にあるます、下にあるマスは青」となるように青白で塗る。（塗り方２）
塗り方１、２を同時に施し、紫、赤、青、白のますをそれぞれ、Ｂ、Ｌ、Ｒ、Ｔに対応させる。

52 ：

>>50
朗報
2007年には159人がＡ判定。当時の母数は今年の半分近く。
85人が暗黙のラインのようだ。

53 ：

>>52
サンクス
じゃあ８点の俺にもまだ望みはあるのか

54 ：

８点の人がボーダーを気にしているあたり去年との空気の違いを感じる。
去年は７点のぐらいの人が結構ナーバスだった。（結果は。。。）
やはり去年のエグいボーダーがショックになっているのか。

55 ：

関数方程式でなかったな。俺の大好きな関数方程式。冬休み中ずっと解いてたよ。
本選行けたらお目にかかるのかな。本選に行けたら・・・

56 ：

７点でも無理かな・・

57 ：

結果は。。。
って書かないでくれぃ(;_;)
...(笑)
落ちるのかなぁ...8点で...

58 ：

>>51
ありがとう．すげえわかった．

59 ：

１０ぐらいが最高点で９点ボーダーとかホンマ地獄やな。
スターウォーズ・エピソード４のルークがゴミ溜めで「Ｃ３ＰＯ！Ｃ３ＰＯ！」
連呼しているシーンが頭をよぎる。マニアネタスマソ。

60 ：

9ってすごいで。
あんな鬼畜テストで3問しか落とさないんやから
そんなんがボーダーとか....

61 ：

俺6点だったしみんなが神に見えるよ
ちょっと来年に向けて真面目に勉強しようと思うがみんなはどうやって勉強したの？

62 ：

特に勉強はしてないけど
好きだから
まあ過去問で面白いなぁって思うものは解いたりしてたし
本屋とかでちらっと立ち読みだけかなぁ。

63 ：

問３すら解けなかったおれは本物のクズ

64 ：

問３は問１〜４の雑魚問題の中で地味にキツい。
直感で一発とかいう書き込み見たけど、俺はそんな数学的直感は
持ち合わせていなかったから相加相乗平均の関係で何とか解を評価した。

65 ：

9点以上100人もいないだろ
8点の人は安心して本選の対策にいそしむべき
と、6点のやつが言ってみる

66 ：

直感で一発って書いてごめん
見直しのときに論理的な裏付けが出来なくて恐かった。
相加相乗使う方法教えてください。

67 ：

>>66
相加相乗平均の関係より
(abc+def+ghi)/3≧(abcdefghi)^(1/3)
＝(9!)^(1/3)
＞70
Ｎが相加平均以上なのは明らか。よってＮ≧71が分かる。
Ｎ＝71とすると71は素数なのでＮが1以上9以下の数の積で表されることに矛盾。
よってＮ≧72
ここで、(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=(1,8,9,2,5,7,3,4,6)とすればＮ＝72となり、
Ｎの最小値は72である。

68 ：

速報　ボーダーは６点です

69 ：

そゆことかー。
ありがとうございます。

70 ：

>>68
私ぬか喜びしない主義ネ
ソースよこすアル

71 ：

問３を地道にやるなら、9と8を分けるか否かをまず考えればいいんじゃない？
9!の立方根も思ったけど計算する気が起きなかった

72 ：

9!の立方根よりも近似値として70^3を思い浮かべれば楽かな

73 ：

皆さんは高校生ですか？
数学が好きな社会人でしょうか？
ちょっと気になったもので…

74 ：

工房

75 ：

工業高校生

76 ：

この際Aランクを200人にすれば7点でも通るかな？

77 ：

200じゃあ。。。
どうだろう。

78 ：

>>73
数学オリンピックに出ることができるのは基本高校生までです。

79 ：

>>78
出てなくても2chにきて
解くのを楽しむ社会人が語ってるのかなーと思いまして。

80 ：

高校３年生でも数オリ受けた人いるのかなあ
今週センターだけど

81 ：

>>76
200人なら７点は通ると思う。
ただ母数お構いなしに100人前後で取ってるからなあ・・・
予選のコンセプトは足切りだからなあ

82 ：

毎年1人くらいいるしいるんじゃないか？

83 ：

>>34
XとPQ,QR,RS,SPとの接点をそれぞれK,L,M,Nとして
PK=a,QL=b,RM=c,SN=dとするとad=3,ab=12,cd=6だからbc=24で
Dの半径をrとすると(b+c)^2+(r-3)^2=(b^2+3^2)+(c^2+r^2)からr=8だな

84 ：

高3で数オリ受けました。9点。

85 ：

>>84
センター頑張れ

86 ：

間違えまくりワロタ
高1で5点だけどこのスレ基準だと低いだろうな

87 ：

エ プ ロ ン 通 信 ６ ＋　α で す よ ー ー ー
http://minus-k.com/nejitsu/loader/up154729.jpg
http://minus-k.com/nejitsu/loader/up154728.jpg

88 ：

高1で4点だった
4以降問題全滅ワロタ

89 ：

７はADの中点とO結んでひたすら三平方繰り返したら割とスムーズに解けたな

90 ：

>>89
なんのひねりもなくて、らしくない問題だったとは思った

91 ：

ジュニアがものすごく簡単だった。
最低９点くらいは必要かも。
簡単だとできる人がケアレスで泣いたりするから
も少しうまくレベル調整してほしい。

92 ：

JMO予選もそうだった。
７点とれば一安心の時代はいつのことか…

93 ：

だよね。
ミスの少なさを競う大会じゃ全く面白くない。
難問をどれだけ解けるか、の大会になってほしい。

94 ：

>>88
俺と同じです

95 ：

ボーダー８じゃね

96 ：

8であってほしい。

97 ：

なあ
俺は�Dの2^15×3^5を
7962624って書いたんだが、これでもおｋ？

98 ：

あってりゃいいんじゃない？

99 ：

>>98
ﾄﾝ
ま、これがおｋでも7点だからなぁ〜

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