http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1200000000/
。
n=0でも成り立つようにするには0^0=1とするのが都合いいんだっけ
x=0がある種の特異点になっていて、
その近くを通らなければx→0、y→0でx^y→1になる。
lim{x→0}x^f(x)が1以外になるためにはx=0でfの任意階数の微分が0になる必要がある。
だから、そう言うのは例外と考えて、
0^0=1と定義してもそれほど不自然じゃないと思うんだけれど、どうだろう？
0^0 = 1
http://www.google.com/search?q=0%5E0
Wolfram
0^0 indeterminate
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0
部分極限とか部分定義とかひたすら部分○○で攻めてみたり。
俺、疲れてるんだな。しばらく休むよ。。。
そしてそれが数学の問題なのか、
数学の記述に使われる日本語の問題なのかを問い直しなさい。
f(x)=x^n
の微分は
nx^(n-1)
これは普通にn=1の時に当てはめて
(x^1)'=1x^0=x^0
としたくなるが、
f'(0)
=lim｛h→0｝((0+h)-0)/h
=1
だから、0^0=1としてくれないと実はこの公式も使えない。
別に関数x^yが定義域全体で連続にならなければいけない理由も無いし、利便性から1でいいと思うが、関数は定義域で連続でないと不自然と思う古い人は多いんだろうな。
0^0の値を決定しようとする試みは、そんな単純なものではない。
連続については>>4みたいな面をもっと強調したい。1以外に近づけるには限られた近づけ方が必要という感覚が無い人は意外に多い。
lim[x→0](lim[n→1]((d/dx)x^n))
であって、
lim[x→0,n→1]((d/dx)x^n)
ではない。
この区別ができていないから、「0^0=1としてくれないと実はこの公式も使えない」という
不適当な推論をご披露されている。それを非難した9の発言を、10は「8は補完だ」と言っているのだ。
再度言う。0^0=1としないと、x^nの微分を求める公式が使えないという、8の発言は間違いだ。
じゃなくて
((d/dx)(x^n))|_{n=1,x=0}
3^1=3
3^2=9
3^3=27
これだけのこと
f’(0)=lim[h->0] {f(x+h)-f(x)}/h |_{x=0}= lim[h->0]{(x+h)-x}/h |_{x=0}
=lim[h->0]h/h|_{x=0}=1
0^0の値は必要ない
にも成立するように、0^0の値を1とするというのでは、話の順序が逆になっている。
n=1の時、n=2の時、,,,と具体的なnに対するそれぞれの公式があり、それらを、
まとめ、一般化したnについての公式が作られている。
だから、
>>((d/dx)(x^n))|_{n=1,x=0}
のように、n=1とx=0を同時（←どのように同時に代入するのか、疑問が残るが）に値を
入れるのは正しくない事がある。疑問が生じる場合には、それが生じない段階でnの値を代入が当然の処理。
もちろん、「0^0=1とすれば、すっきりする」という主張があるのは認める。
だが、「すっきり感」と「体系の無矛盾性」を天秤に掛ければ、後者を選ばなければならない。
「(d/dx)x^n=nx^(n-1)」という公式は、具体的なnの値について作られた微分の式をまとめた
ものにすぎず、n=1の時の (d/dx)x=1 は、0^0の値を必要とせず、求められる。
「(d/dx)x^n=nx^(n-1)」という公式は、0^0=1が無ければ、求められないという主張は間違い。
＝（ｌｉｍ＿｛ｈ−＞０｝（（（ｘ＋ｈ）＾ｎ−ｘ＾ｎ）／ｈ））｜＿｛ｎ＝１，ｘ＝０｝
＝ｌｉｍ＿｛ｈ−＞０｝（（（０＋ｈ）＾１−０＾１）／ｈ）
＝ｌｉｍ＿｛ｈ−＞０｝（（ｈ＾１−０＾１）／ｈ）
＝ｌｉｍ＿｛ｈ−＞０｝（（ｈ−０）／ｈ）
＝ｌｉｍ＿｛ｈ−＞０｝（ｈ／ｈ）
＝ｌｉｍ＿｛ｈ−＞０｝（１）
＝１。
>n=1の時のx^nの微分の、x=0の時の値は、あえて、変な使い方をすれば、
>lim[x→0](lim[n→1]((d/dx)x^n))
>であって、
[x]のx=0での微分係数はlim[x→0]((d/dx)[x]))なのか。
((d/dx)(x^n))|_{n=1,x=0}
これは、((d/dx)(x^n))を行った後、|_{n=1,x=0} が適用されると言う意味。
nx^(n-1)｜_{n=1,x=0}の意味で使われる。
n=1を微係数の計算と同時に入れている26の方法は、この式を正しく評価したものではない。
>>8 にある「だから、0^0=1としてくれないと実はこの公式も使えない。 」というコメントにあるように、
微分が行われた後に、代入が「同時に」行われるという式であり、公式の誤った認識表現。
公式の成立の由来を考えれば、同時に代入する「必要はない」。
問題がある場合には、「n=1」を最初に適用すればよく、かつ、0^0という値そのものではなく、
(h^1-(定数))/h という関数の、h=0近辺での振る舞いから求まる、lim[h→0](h^1-0)/h でよいことを考えれば、
「近づき方が指定された0^0の値」で良い。
改めて、0^0=1としないと、「(d/dx)x^n=nx^(n-1)」という公式が、n=1,x=0の時に使えないという>>8の主張を否定する。
この公式で必要なのは、「ある近づき方の時の0^0の値(=lim[h→0](h^1-0)/h)」でよく、0^0 の値そのものではない。
>>27
13での書式は厳密な意味では正しくない。だから、「あえて」と言う言葉を添えた。
n=1の代入の後、x=0が代入される事を、順番が明確にするため、代入記号の代わりにlim[]を使わせてもらって、表したもの。
また、あそこで、x^nとされていた関数の話を、一般の関数へと適用するのは、論理のすり替えである。
>n=1の代入の後、x=0が代入される事を、順番が明確にするため、代入記号の代わりにlim[]を使わせてもらって、表したもの。
>また、あそこで、x^nとされていた関数の話を、一般の関数へと適用するのは、論理のすり替えである。
だったら(((d/dx)x^n)|_{n=1})|_{x=0}のように書くべきで
その自分の間違いを相手に押し付けるのは論理のすり替え
y=0
xy+x=(y+1)x
y+1=0+1=1
xy+x=(y+1)x=1・x=0
よって
xy+x=xy=0
紙だったら、最初から、縦棒を使って書いていた。
掲示板で、|_{x=0} のようなTex流の手法が使われているのかどうか不明だったから、あの使い方をしただけ。
言いたかったのは、同時ではなく、順番があること。それを示すのに、二重lim[]が有用と考え、流用しただけ。
にもかかわらず、ここの0^0の話題とは関係のない[x]の微係数の話へ転換したから、論理のすり替えだと指摘したまで。
>> だったら(((d/dx)x^n)|_{n=1})|_{x=0}のように書くべきで
これは、正しい。真摯に受け取る。
>> その自分の間違いを相手に押し付けるのは論理のすり替え
こちらは受け入れられない。なぜなら、間違いを相手に押しつけてなどしてないから。話題をずらすなと指摘しただけ。
再度繰り返す。おれが、ここで何度も書いているのは、>>8の『だから、0^0=1としてくれないと実はこの公式も使えない。』
の間違いを指摘するためである。もともと、n=1にあたる、((d/dx)x)|_{x=0}の計算に、0^0等表れない。これこそが本質である(※)。
公式nx^(n-1)に、n=1、x=0を代入すれば、形式的には0^0は登場する。だが、この公式は、おのおののnについて作られた
式をまとめ、一般化して「表した」だけのもの。従って、n=1とx=0の代入が「同時」に行われる必要はない。
この公式が作られる手順を考えれば、x^0からxの値に依らず1とすることになる。ただし、x=0の時は0^0となるが、これは、
lim[x→0]x^0 の計算から1とするのが妥当。0^0の値そのものは必要なく、「近づき方が指定された0^0」があればよいだけ。
しかもこれは、公式を一般化する際に「公式使用上の注意」として付加しておけば良いだけの話であり、0^0 の値の議論
の本質論とは無関係。なぜなら(※)だから。せいぜい「この公式の一般化上の都合から0^0=1とすると、すっきりする」程度である。
ましてや、この公式を使うために、0^0=1とせねばならない等というでのは、全く論理が狂っている。
何番が間違い？
(1) f(x,y)=g(x,y) のとき f(x,y)|_{x=a,y=b}=g(x,y)|_{x=a,y=b}
(2) (d/dx)f(x)=lim_{h->0}((f(x+h)-f(x))/h)
(3) f(x,y)|_{x=a,y=b}=f(a,b)
このテの「相手側主張の捏造」は、非論理的・エセ論理的な議論においてよく使われる手法のひとつです。JavaBlackさんは言ってもいないことに（も）反論しているのですね。
論理的、あるいはメタ論理的な観点からは、おかしな構成であり、議論の枠組みが歪んでいます。だって、論理的な否定や反駁にまったくなってないもの -- つうか、そういう評価以前の瑕疵があると言うべきか。
ワンヤグさんの主張を読み取れてない、つまり解釈力の不足も疑われるのですが、おそらくは、なにがなんでもイチャモンを付けたい気分が先行して、あんな杜撰な記述とあいなったのでしょう。
感情を、素直に感情として吐露しているなら、それに共感することもできます。しかし、なまじ論理的であるかのごとく装っていると、その論理のほころびや破綻に眼がいってしまって、僕は単に「論理的にダメな議論」と判断します。
(f(x,y)|_{x=a})|_{y=b}
=(f(a,y))|_{y=b}
=f(a,b)
=f(x,y)|_{x=a,y=b}
↑どこが間違い？
＞((d/dx)(x^n))|_{n=1,x=0}
＞これは、((d/dx)(x^n))を行った後、|_{n=1,x=0} が適用されると言う意味。
＞nx^(n-1)｜_{n=1,x=0}の意味で使われる。
これは (d/dx)(x^n)=nx^(n-1) は n=1 でも成り立つと言ってるの？
33にて、『公式を一般化する際に、「公式使用上の注意」として付加して』と書いた。
これは、一般関数のf(x,n)=nx^(n-1)と、べき乗の微分の公式として知られているF(x,n)=nx^(n-1)を同一の
もとして扱ってはいけないという意味。
一般関数のf(0,1)は0^0という形が表れるから、定義域から除かれている。
しかし、公式として知られる関数のF(0,1)は、d(x)/dx=1であることから、1という値が、手で与えられている
と言っている。
それは質問に対する答えではない
見越さなくていいから回答しろ
話をすり替えるな。
質問などせずに、自分の意見を書け。それに対し、おれも意見があれば書く。
ここはそういう場所だ。
そのおかしい部分を突き止めないと話は続けられない。
ズバリ、ここがおかしい。と指摘してくれ。
それが的を射たものであれば受け入れるだろうし、そうでなければ反論するだろう。
>>36のどれか
f(0,1)=nx^(n-1)|_{x=0,n=1}=1*0^0となり、不定形となる。
だから、0^0は1でないと困るとか、この公式が有用になるように、0^0=1とすべきだとか、
その類の意見が、>>8にある。
だが、おれは、それを否定した。
微分の公式として知られるnx^(n-1)は、正しくはF(x,n)=((d/dX)(X^N|_{N=n}))|_{X=x}で定義されているもの。
n≠1の時は、F(x,n)=((d/dX)(X^N|_{N=n}))|_{X=x}=((d/dX)(X^n))|_{X=x}=nx^(n-1)
n＝0の時は、F(x,1)=((d/dX)(X^N|_{N=1}))|_{X=x}=((d/dX)(X))|_{X=x}=1
となる。0^0など現れない。ただこれだけの話。
間違いがあるなら、ここが間違いだと、ズバリ指摘してみろ。それができないなら、>>8らは自らの書き込み
が間違いであった事をいい加減認めろ。
ここまでのおれの書き込みの中で、「表記方法」が適切でなかったものがあった事は認めるが、言葉で行って
いる主張内容に変更はない。
>>41
((d/dX)(X^N|_{N=n}))|_{X=x} ≠ ((d/dX)(X^N))|_{N=n,X=x}
であることを示唆した。
n=1の時、左辺は恒等的に1、右辺はx=0以外で1、x=0では不定となるため、等号ではつなげない。
α^(2β)≧2α＋β^αを満たす実数α、βのうち
βは有限であることを示せ
・それは質問に対する答えではない
・では、質問の意図を述べよ。>>38はそれを、見越して回答したつもりだ
・見越さなくていいから回答しろ
・話をすり替えるな。
・質問に回答する義務は負ってない。誘導尋問に乗るつもりもない。 質問などせずに、自分の意見を書け。それに対し、おれも意見があれば書く。 ここはそういう場所だ。
・お前の話はおかしい。 そのおかしい部分を突き止めないと話は続けられない。
・おかしい事は確かだが、どこがおかしいか解らない と言う意味か？ ズバリ、ここがおかしい。と指摘してくれ。 それが的を射たものであれば受け入れるだろうし、そうでなければ反論するだろう。
．．．
これが自作自演だとでも言うのか？
最近の書き込みは、負け組の一部が、そう思われないよう、小細工を弄してるって事でFAだ
((d/dX)(X^N|_{N=n}))|_{X=x}
=((d/dX)(X^n))|_{X=x}
=(lim_{h->0}(((X+h)^n-X^n)/h))|_{X=x}
=(lim_{h->0}(((x+h)^n-x^n)/h))
=(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=n,X=x}
=((d/dX)(X^N))|_{N=n,X=x}
どこが間違い？
>>=(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=n,X=x}
この二行は等しくない。
上の式は、n=1の時、(lim_{h->0}(((x+h)-x)/h))=lim_{h->0}h/h=lim_{h->0}1=1
下の式は、(中略)=NX^(N-1)|_{N=n,X=x}=nx^(n-1)だから、n=1の時、x^0
中略の部分が間違ってるんだろ。
詳しく書いてみろ。
f(p,q)=lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)とすると
f(x,n)=(lim_{h->0}(((x+h)^n-x^n)/h))
f(X,N)=(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))
f(X,N)|_{N=n,X=x}=(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=n,X=x}
その二行はf(x,n)=f(X,N)|_{N=n,X=x}ということになるんだけどこれが間違い？
>>58の下の式で、n=1を適用すると
(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=1,X=x}
=((d/dX)(X^N))|_{N=1,X=x}=NX^(N-1)|_{N=1,X=x}=x^0
でもいいし、
(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=1,X=x}
=(lim_{h->0}(1/h)Σ[k=1,N]C(N,k)X^(N-k)*h^k)|_{N=1,X=x}
=(lim_{h->0}Σ[k=1,N]C(N,k)X^(N-k)*h^(k-1))|_{N=1,X=x}
=(Σ[k=1,N]lim_{h->0}C(N,k)X^(N-k)*h^(k-1))|_{N=1,X=x}
=(Σ[k=1,1]lim_{h->0}C(N,k)X^(N-k)*h^(k-1))|_{N=1,X=x}
=(Σ[k=1,1]C(N,k)X^(N-k))|_{N=1,X=x}
=NX^(N-1)|_{N=1,X=x}
=x^0
重要なのは、n=1を入れても、微分、あるいは、limの処理は、XとNの関数のまま行われ、最後に、N=1を介して、代入される事
q≠1の時：f(p,q)=lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)=lim_{h->0}((qp^(q-1)h+q(q-1)p^(q-2)h^2+...))/h)=qp^(q-1)
q＝1の時：f(p,1)=lim_{h->0}(((p+h)-p)/h)=1
というのが、f(p,q)の実態。
従って、f(X,N)|_{N=n,X=x}のように、Nに何らかの値(=n)を入れるときには、
(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=n,X=x} （n≠1のとき）
または、
１ （n＝１）
と分けて、表示しなければならない。
＞(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=1,X=x}
＞=(lim_{h->0}(1/h)Σ[k=1,N]C(N,k)X^(N-k)*h^k)|_{N=1,X=x}
X^(N-k) は X=0,N=1,k=1 のとき 0^0 になるから 0^0=1 としていないなら間違い。
>(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=n,X=x} （n≠1のとき）
n=1のときも
lim_{h->0}(((x+h)^1-x^1)/h))になるだけだからわける必要なし
何が言いたいの？ 意味不明だな
x^0となるから、1と異なるというのが主旨。
>>64
>>n=1のときも
>>lim_{h->0}(((x+h)^1-x^1)/h))になるだけだからわける必要なし
n=1がNに代入され、そのNの値の代入が行われるのは、limの処理の後
(X+h)^N-X^N=Σ[k=1,N]C(N,k)X^(N-k)*h^k
としてるけど
N=1のとき
(X+h)^N-X^N=(X+h)^1-X^1=(X+h)-X=h
Σ[k=1,N]C(N,k)X^(N-k)*h^k=Σ[k=1,1]C(1,k)X^(1-k)*h^k=C(1,1)X^(1-1)*h^1=X^0*h
だからこの変形(>>61)は任意のXに対してX^0=1となることを前提にしている。
なぜ、lim_{h->0}を抜かして引用（？というか、勝手な式変形）するの？ おれが書いたのは下
=(Σ[k=1,N]lim_{h->0}C(N,k)X^(N-k)*h^(k-1))|_{N=1,X=x}
=(Σ[k=1,1]lim_{h->0}C(N,k)X^(N-k)*h^(k-1))|_{N=1,X=x}
この変化で、Σの上限Nが１に変わったのは、lim_{h->0}の効果を考慮したため。
k=2以上では、h→0の効果のため、和を取る必要が無くなるから。
N=1を代入したわけではない。（この代入は、何度も繰り返すように、一番最後に行わなければならない。）
なお、途中で、lim_{h->0}h^0=1は使ってる。
それの上に書いてある
＞(lim_{h->0}(((X+h)^N-X^N)/h))|_{N=1,X=x}
＞=(lim_{h->0}(1/h)Σ[k=1,N]C(N,k)X^(N-k)*h^k)|_{N=1,X=x}
どういう方法で変形したの？
(X+h)^N-X^N = X^N + Σ[k=1,N](X^(N-k)*h^k) - X^N
=Σ[k=1,N](X^(N-k)*h^k)
を使っただけ。
(X+h)^N-X^N=(X+h)^2-X^2=(X^2+2Xh+h^2)-X^2=2Xh+h^2
Σ[k=1,N](X^(N-k)*h^k)=Σ[k=1,2](X^(2-k)*h^k)=X^(2-1)*h^1+X^(2-2)*h^2=Xh+X^0*h^2
だから等しくない。
(X+h)^N-X^N = X^N + Σ[k=1,N]C(N,k)(X^(N-k)*h^k) - X^N
=Σ[k=1,N]C(N,k)(X^(N-k)*h^k)
の間違いだ。だが、くだらない事を言い出しそうだから、あえて、次を示しておく。
(X+h)^N-X^N = X^N + Σ[k=1,N-1]C(N,k)(X^(N-k)*h^k) + h^N - X^N
=Σ[k=1,N-1]C(N,k)(X^(N-k)*h^k) + h^N
これでも、何ら問題ない。
それを使って>>61を正しく直してくれ。
=(lim_{h->0}(1/h)Σ[k=1,N]C(N,k)X^(N-k)*h^k)|_{N=1,X=x}
=(lim_{h->0}(1/h)(C(N,1)X^(N-1)*h^1+C(N,2)X^(N-2)*h^2+...+C(N,N)*h^N))|_{N=1,X=x}
=(lim_{h->0}(C(N,1)X^(N-1)+C(N,2)X^(N-2)*h^1+...+C(N,N)*h^(N-1)))|_{N=1,X=x}
=NX^(N-1)|_{N=1,X=x}
=x^0
h^Nの項の扱いを気にしてるみたいだから、その部分だけ取り出すと、
(lim_{h->0}(1/h)C(N,N)*h^N)|_{N=1,X=x}
=(lim_{h->0}h^(N-1))|_{N=1,X=x}
=0|_{N=1,X=x}
=0
f(p,q)=lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)
f(p,q)|_{q=1}=lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)|_{q=1}
f(p,q)|_{q=1}=f(p,1)=1
lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)|_{q=1}=p^0(>>61>>73と同様)
よってp^0=1
↑どこが間違い？
(lim_{h->0} ((((p+h)^q-p^q)/h))|_{q=1} =p^0
N(X^(N-1)|_{N=1,X=x})=Nx^0
n^0 = 1に何も掛けない
と解釈すると、辻褄が合う
>>78
俺は正しいと思う
補足
3^3 = 1*3*3*3 = 27
3^2 = 1*3*3 = 9
3^1 = 1*3 = 3
3^0 = 1*...3を一回も掛けない = 1
0^3 = 1*0*0*0 = 0
0^2 = 1*0*0 = 0
0^1 = 1*0 = 0
0^0 = 1*...0を一回も掛けない = 1
このg(x)=x^0はx≠0でg(x)=1をとり、x=0で定義されない関数となり、誤った結果を得てしまう
間違いがあったのは、f(x)=xに(x^n)'=nx^(n-1)という公式を適用したことである
だが、仮に0^0=1と定義されていれば、f(x)=xの導関数を(x^n)'=nx^(n-1)という公式を用いて正しい結果が得られる
>>8はf(x)=xの導関数の計算に0^0=1の定義が必要であると主張しているのではなく、
f(x)=xの導関数の計算に(x^n)'=nx^(n-1)という公式を適用するためには0^0=1の定義が必要と言っているだけ
これは、認識に間違いがあるか、言葉の使用がいい加減で、読み手に誤解を生じさせうるものだ。
べき乗の微分の公式として知られているものは、一般関数のf(x,n)=nx^(n-1)とは異なる。
べき乗の微分の公式は、F(x,n)=(d/dx)(x^N|_{N=n})で定義されているもの。だから、
nx^(n-1) (n≠1の時)
1 (n=1の時)
と分けられて表示される。あるいは、「nx^(n-1) ただしn=1の時は1」と注意が添えられていなければならない。
従って、一般関数のf(x,n)=nx^(n-1)にx=0,n=1を適用すると、0^0が現れるが、
べき乗の微分の公式F(x,n)=(d/dx)(x^N|_{N=n})にx=0,n=1を適用しても、0^0は現れない。
>>f(x)=xの導関数の計算に(x^n)'=nx^(n-1)という公式を適用するためには0^0=1の定義が必要
は
「f(x)=xの導関数の計算に、公式の非適用範囲だから本来は使えないが、 n≠1の時の式、nx^(n-1) を
無理矢理流用し、正しい結果を得るためには 0^0=1 とされていればよい」 ならよい。
証明とは言えんけど、 >>78で十分だろ
a[2]*a[3]=20/3
a[3]*a[4]=22/3
a[n]は求められるか
整合性がない？関数は必ず連続でなければならないとでも思っている？
>>74のどこが間違い？
0^xという関数を、lim_{x->+0} 0^x = 0 であるのにもかかわらず、
0^x= 0 (x>0の時)
0^x= 1 (x=0の時)
と定義すればいいと言う主張か？
>>88
f(p,q)=lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)
f1(p,q)=lim_{h->0}((((p+h)^Q-p^Q)/h) |_{Q=q})
f2(p,q)=(lim_{h->0} (((p+h)^Q-p^Q)/h))|_{Q=q}
これら、いずれも、p,qの関数である。
f1とf2は、limの適用と、Qの値が代入の順序が異なっている。
この違いが、f1とf2の違いで、q=1の時の値が、1になるか、p^0になるかの違いになっている。
この違いを議論する場において、f(p,q)という、順序について何も制約しない関数を使って
議論をしようとしているのが、間違い。
＞ >>87
＞ 0^xという関数を、lim_{x->+0} 0^x = 0 であるのにもかかわらず、
＞ 0^x= 0 (x>0の時)
＞ 0^x= 1 (x=0の時)
＞ と定義すればいいと言う主張か？
それ以外にどんな解釈をするつもりだ？また、それになにか問題でも？
>>62は間違いってことか。
0^0は、lim_{x->+0,y->+0}x^y と一致していなければ意味がない。しかし、
lim_{y->+0}(lim_{x->+0}x^y)≠lim_{x->+0}(lim_{y->+0}x^y) だから、lim_{x->+0,y->+0}x^yは定義できない。
たとえ、特例として、特殊な関数 0^x を89のように定義したとしても、lim_{x->+0} 0^x = 0 であるから、
lim_{x->+0,y->+0}x^yが定義できない事には変わりがない。結論として、0^0は定義できない。
連続性を問題にしているのではない。近づき方によって異なる値を取る事が問題なのだ。
>>91
f(p,q)=lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)では、f1なのか、f2なのか、どちらとも判断できない。
あるいは、どちらかの立場を取ったからと言って、それが間違いだとは言い切れない。
そこで、62では、f(p,q)として、f1(p,q)=lim_{h->0}((((p+h)^Q-p^Q)/h) |_{Q=q}) の立場に立った説明を行った。
なぜなら、f2(p,q)の立場に立つと、同じものだから、「同じだ」だけで、終わるからだ。
繰り返すが、この議論を行う祭に、f(p,q)=lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h)という道具を用いるのが間違い。
なぜ
lim_{x->0,y->0}x^y
ではなく
lim_{x->+0,y->+0}x^y
の話をしているんだ？
> 0^0は、lim_{x->+0,y->+0}x^y と一致していなければ意味がない。
別に一致する必要はない
> lim_{x->+0,y->+0}x^yが定義できない事には変わりがない。結論として、0^0は定義できない。
極限は定まらないもので、定義するものではない
極限と0^0が一致する必要もない
f1(p,q)=lim_{h->0}((((p+h)^Q-p^Q)/h)|_{Q=q})
f1(p,q)|_{q=1}=(lim_{h->0}((((p+h)^Q-p^Q)/h)|_{Q=q}))|_{q=1}
f1(p,q)|_{q=1}=f1(p,1)=1
(lim_{h->0}((((p+h)^Q-p^Q)/h)|_{Q=q}))|_{q=1}=(lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h))|_{q=1}=p^0(>>61>>73と同様)
よってp^0=1
↑どこが間違い？
少なくとも、lim_{x->+0,y->+0}x^y が定まらない以上、lim_{x->0,y->0}x^y が定まるわけがない。
lim_{x->+0,y->+0}x^y の評価だけで十分だからだ。
>>別に一致する必要はない
意見の相違だ。非自明な定義域ではない限り、一致するのが望ましいと考える。
>>極限と0^0が一致する必要もない
極限値が存在しない(＝一意に定まらない)から、0^0が定められない。
0/0 も 1 とするのが望ましいのか
>>95
lim_{h->0}((((p+h)^Q-p^Q)/h)|_{Q=q}))|_{q=1}
=(lim_{h->0}(((p+h)^q-p^q)/h))|_{q=1}
この変化で、Q=qを入れる際に、場合分けを行う必要がある。
なんで
(((p+h)^Q-p^Q)/h)|_{Q=q}=((p+h)^q-p^q)/h
が間違い？
q=1の時、上式は１
q≠1のときは、qp^(q-1) + h*E(p,q)
後者において、q=1とすると、p^0が現れる。これが等しいのか？
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