Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
part 1
http://kamome.2ch.net/math/index.html#4
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の最小分解体(part1の149)が K の正則(part1の585)な冪根拡大(part1の512)に含まれるとき
f(X) は正則に可解であるという。
part 1
http://kamome.2ch.net/math/index.html#7
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の最小分解体(part1の149)が K 上分離的(>>248)なとき f(X) を準分離的と言う。
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) が準分離的(>>4)であるためには
f(X) のΩ(part1の82)における各根の K 上の最小多項式(part1の116)が
分離的(part1の193)であることが必要十分である。
証明
必要性：
f(X) は準分離的であるとする。
f(X) のΩ(part1の82)における根の全体を α_1、．．．、α_m とする。
仮定より、K(α_1、．．．、α_m) は K 上分離的(part1の248)である。
よって、各 α_i は K 上分離的(part1の247)である。
よって、各 α_i の K 上の最小多項式は分離的である。
十分性：
各 α_i の K 上の最小多項式が分離的であるとする。
part1の271より、K(α_1、．．．、α_m) は K 上分離的である。
よって、f(X) は準分離的ある。
証明終
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) が準分離的(>>4)であるためには f(X) の K[X] における各既約因子が
分離的(part1の193)であることが必要十分である。
証明
Ω(part1の82)の元 α が f(X) の根であるためには α が
f(X) の K[X] における各既約因子のどれかの根であることと同値である。
よって、本命題は>>5から明らかである。
証明終
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の K[X] における相異なる各既約因子を g_1(X)，．．．、g_r(X) とする。
これ等の積 g_1(X)．．．g_r(X)を f(X) の被約化多項式と言う。
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の準分離的(>>4)な多項式とする。
このとき f(X) の最小分解体(part1の149) L はpart1の166より正規拡大(part1の163)である。
f(X) は準分離的だから L/K は分離的(part1の248)である。
よって、L/K はGalois拡大(part1の251)である。
このGalois群(part1の251)を f(X) のGalois群と言う。
f(X) を K 係数の準分離的(>>4)な多項式とする。
f(X) の被約化多項式(>>7)を g(X) とする。
>>6より g(X) は分離的(part1の193)である。
f(X) と g(X) の最小分解体(part1の149)は一致する。
よって f(X) と g(X) のGalois群も一致する。
よって、準分離的な多項式の最小分解体やそのGalois群(>>8)を考察する場合、
分離的な多項式に限ってもよい。
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の準分離的(>>4)な多項式とする。
f(X) のGalois群(>>8)の位数がΩ(part1の82)の標数で割れないとき
f(X) を正則であるという。
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の87)なGalois拡大(part1の251)とする。
そのGalois群(part1の251)の位数がΩ(part1の82)の標数で割れないとき
L/K を正則なGalois拡大と言う。
L/K を拡大(part1の82)とする。
正則(>>11)なGalois拡大(part1の251) E/K でそのGalois群(part1の251)が
可解(part1の550)なものがあり、L ⊂ E となるとき L/K を正則な準可解拡大と言う。
L/K を正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)とする。
M/K をGalois拡大で M ⊂ L とする。
このとき、M/K は正則である。
証明
part1の488より G(M/K) (part1の251)は G(L/K)/G(L/M) に同型である。
よって、G(M/K) の位数は G(L/K) の位数の約数である。
よって、M/K は正則である。
証明終
L/K を有限(part1の87)な分離的拡大(part1の248)とする。
L/K が正則な準可解拡大(>>12)であるためには L/K のGalois閉包(part1の569)が
正則(>>11)でそのGalois群(part1の251)が可解(part1の550)であることが必要十分である。
証明
part1の575と>>13より明らかである。
L/K を正則な準可解拡大(>>12)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ正則な準可解拡大である。
証明
L ⊂ E となる正則(>>11)なGalois拡大 E/K で
G(E/K) (part1の251)が可解(part1の550)なものがある。
M/K が正則な準可解拡大であることは明らかである。
G(E/M) は G(E/K) の部分群であるからpart1の565より可解(part1の550)である。
G(E/K) の位数は Ω(part1の82)の標数で割れないから G(E/M) も同様である。
よって、L/M は正則な準可解拡大である。
証明終
L/K を正則な準可解拡大(>>12)とする。
任意の拡大(part1の82) F/K に対して LF/F は正則な準可解拡大である。
証明
E を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>14より、E/K は正則(>>11)で G(E/K) (part1の251)は可解(part1の572)である。
part1の325より E/K は有限であるからpart1の505より G(EF/F) は G(E/(E∩F)) と同型である。
G(E/(E∩F)) は G(E/K) の部分群であるからpart1の565より可解(part1の550)である。
G(E/K) の位数は Ω(part1の82)の標数で割れないから G(E/(E∩F)) も同様である。
よって、EF/F は正則(>>11)で G(EF/F) は可解である。
LF ⊂ EF であるから LF/F は正則な準可解拡大である。
証明終
L_1/K、．．．、L_n/K を正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)とする。
E を L_1、．．．、L_n の合成体(part1の291)とする。
このとき、E/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
証明
G_i = G(L_i/K)、i = 1、．．．、n とおく。
part1の507より E/K はGalois拡大であり
G(E/K) は (G_1)×．．．×(G_n) の部分群に同型である。
各 G_i の位数は Ω(part1の82)の標数で割れないから (G_1)×．．．×(G_n) も同様である。
よって、G(E/K) も同様である。
よって、E/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
証明終
失業者 クンマーw
失業者はワシや。
猫
K ⊂ M ⊂ L を体(part1の82)の拡大の列とする。
M/K と L/M はそれぞれ正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
証明
part1の306より、N は {σ(L)：σ ∈ E(L/K) (part1の262)} の合成体(part1の291)である。
part1の166より、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(M) = M である。
よって、part1の>570より σ(L)/M はGalois拡大であり、G(σ(L)/M) は G(L/M) に同型である。
よって、σ(L)/M は正則(>>11)なGalois拡大である。
>>17より N/M は正則(>>11)なGalois拡大である。
M/K はGalois拡大であるから>>473より G(N/M) は G の正規部分群である。
>>488より G(N/K)/G(N/M) は G(M/K) に同型であるから
|G(N/K)| = |G(M/K)||G(N/M)|
|G(M/K)| と |G(N/M)| は Ω(part1の82)の標数で割れないから |G(N/K)| も同様である。
よって、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
証明終
彼の数学に魅せられた人は多いはずです
存分に語りましょう
※過去スレその1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1314183322/
※過去スレその2
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1316501127/
※過去スレその3
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1318272826/
★相互リンク
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/life/1316361840/
K ⊂ M ⊂ L を体(part1の82)の拡大の列とする。
M/K と L/M はそれぞれ正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
証明
part1の306より、N は {σ(L)：σ ∈ E(L/K) (part1の262)} の合成体(part1の291)である。
part1の166より、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(M) = M である。
よって、part1の>570より σ(L)/M はGalois拡大であり、G(σ(L)/M) は G(L/M) に同型である。
よって、σ(L)/M は正則(>>11)なGalois拡大である。
>>17より N/M は正則(>>11)なGalois拡大である。
Tohru Uzawa is cited 22 times by 23 authors
Yoshifumi Kimura is cited 30 times by 40 authors
Shin Nayatani is cited 69 times by 62 authors
Hiroshi Ohta4 is cited 71 times by 77 authors
Kazuhiro Fujiwara is cited 82 times by 70 authors
Hiroaki Kanno is cited 92 times by 109 authors
Ryoichi Kobayashi is cited 126 times by 104 authors
Soichi Okada is cited 132 times by 110 authors
Mitsuru Sugimoto is cited 145 times by 69 authors
Thomas Geisser is cited 146 times by 62 authors
Akihiko Gyōja is cited 158 times by 132 authors
Toshiaki Hishida is cited 161 times by 77 authors
Shigeyuki Kondō is cited 168 times by 94 authors
Taro Nagao is cited 187 times by 89 authors
Lars Hesselholt is cited 187 times by 70 authors
無職はワシや。そやからこの毒まみれの掲示板を焼き払うという下らん
作業を実行してるのや。判るわナ。
猫
M/K と L/M はそれぞれ正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
さらに G(M/K) (part1の251)と G(L/M) は可解(part1の550)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は正則(>>11)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。
証明
>>20より、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
part1の571より、G(N/K) は可解である。
証明終
M/K と L/M はそれぞれ正則な準可解拡大(>>12)であるとする。
このとき、L/K は正則な準可解拡大である。
証明
F を M/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>14より、F/K は正則(>>11)なGalois拡大で G(F/K) (part1の251)は可解(part1の550)である。
L/M は正則な準可解拡大であるから、>>16より、FL/F は正則な準可解拡大である。
E/F を FL/F のGalois閉包(part1569)とする。
>>14より、E/F は正則(>>11)なGalois拡大で G(E/F) は可解(part1の550)である。
>>26より、E/K は正則な準可解拡大である。
L は E/K の中間体だから L/K は正則な準可解拡大である。
証明終
正則な準可解拡大(>>12)全体の集合は正則(part1の136)である。
証明
>>15と>>28と>>16より明らかである。
深夜目覚めアゲ
医学部の５０歳代の男性教授を懲戒処分（減給）にしたと発表した。
大学によると、教授は２００７年４月頃から０９年３月頃にかけて、指導を担当する修士課程の
女子大学院生に対し日常的に「ばか、そんな計算もできないのか」
「おはらいを受けたら」などと言い、精神的苦痛を与えたという。
教授は、研究指導や助言を求められた際も、適切な対応をせず、修士論文の指導では、
半月前に受け取った原稿を締め切り前日になって添削指導をしたとしている。大学院生は、
精神科の治療を受け、自宅療養を余儀なくされたとしている。
大学側の調査に、教授は「大学に迷惑をかけた」などと話しているという。
日本人ならベラベラ出てくる。日本人の良さを活かすという観点では何も
語ってないよね？ いや、ホント残念なんだよね。欠点を分析で終わって欲しくないな。
まあ、俺の勝手な意見だけどもよ。
正則な準可解拡大(>>12)全体の集合は正則(part1の136)である。
証明
>>15と>>28と>>16より明らかである。
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の87)なGalois拡大(part1の251)とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 か G(L/K) (part1の251)の位数の各素因数より大きいとき
L/K を強正則なGalois拡大と言う。
アホめ
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の87)なGalois拡大(part1の251)とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 か G(L/K) (part1の251)の位数の各素因数より大きいとき
L/K を強正則なGalois拡大と言う。
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の261)とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 か G(L/K) (part1の261)の位数の各素因数より大きいとき
L/K を強正則なGalois拡大と言う。
L/K を拡大(part1の82)とする。
強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251) E/K でそのGalois群(part1の251)が
可解(part1の550)なものがあり、L ⊂ E となるとき L/K を強正則な準可解拡大と言う。
L/K を強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)とする。
M/K をGalois拡大で M ⊂ L とする。
このとき、M/K は強正則である。
証明
part1の488より G(M/K) (part1の251)は G(L/K)/G(L/M) に同型である。
よって、G(M/K) の位数は G(L/K) の位数の約数である。
よって、M/K は強正則である。
証明終
L/K を有限(part1の87)な分離的拡大(part1の248)とする。
L/K が強正則な準可解拡大(>>38)であるためには L/K のGalois閉包(part1の569)が
強正則(>>34)でそのGalois群(part1の251)が可解(part1の550)であることが必要十分である。
証明
必要性
L/K が強正則な準可解拡大であるとする。
L ⊂ E となる強正則(>>34)なGalois拡大 E/K でそのGalois群が可解なものがある。
L/K のGalois閉包を M とすると M ⊂ E である。
part1の488より G(M/K) は G(E/K)/G(E/M) に同型である。
よって、|G(M/K)| (part1の180)は |G(E/K)| の約数である。
よって、M/K は強正則(>>34)である。
またpart1の560より G(M/K) は可解である。
十分性：
自明である。
証明終
L/K を強正則な準可解拡大(>>38)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ強正則な準可解拡大である。
証明
L ⊂ E となる強正則(>>34)なGalois拡大 E/K で
G(E/K) (part1の251)が可解(part1の550)なものがある。
M ⊂ E だから M/K は強正則な準可解拡大である。
G(E/M) は G(E/K) の部分群であるから E/M は強正則(>>34)である。
さらにpart1の565より G(E/M) は可解(part1の550)である。
よって、L/M は強正則な準可解拡大である。
証明終
L/K を強正則な準可解拡大(>>38)とする。
任意の拡大(part1の82) F/K に対して LF/F は強正則な準可解拡大である。
証明
E を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>40より、E/K は強正則(>>34)で G(E/K) (part1の251)は可解(part1の572)である。
part1の325より E/K は有限であるからpart1の505より G(EF/F) は G(E/(E∩F)) と同型である。
G(E/(E∩F)) は G(E/K) の部分群であるからpart1の565より可解(part1の550)である。
Ω(part1の82)の標数は 0 か G(E/K) の位数の各素因数より大きいから
G(E/(E∩F)) に対しても同様である。
よって、EF/F は強正則(>>34)で G(EF/F) は可解である。
LF ⊂ EF であるから LF/F は強正則な準可解拡大である。
証明終
L_1/K、．．．、L_n/K を強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)とする。
E を L_1、．．．、L_n の合成体(part1の291)とする。
このとき、E/K は強正則なGalois拡大である。
証明
G_i = G(L_i/K)、i = 1、．．．、n とおく。
part1の507より E/K はGalois拡大であり
G(E/K) は (G_1)×．．．×(G_n) の部分群に同型である。
Ω(part1の82)の標数は 0 か各 G_i の位数の各素因数より大きいから
(G_1)×．．．×(G_n) に対しても同様である。
よって、G(E/K) に対しても同様である。
よって、E/K は強正則なGalois拡大である。
証明終
K ⊂ M ⊂ L を体(part1の82)の拡大の列とする。
M/K と L/M はそれぞれ強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は強正則なGalois拡大である。
証明
part1の306より、N は {σ(L)：σ ∈ E(L/K) (part1の262)} の合成体(part1の291)である。
part1の166より、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(M) = M である。
よって、part1の570より σ(L)/M はGalois拡大であり、G(σ(L)/M) は G(L/M) に同型である。
よって、σ(L)/M は強正則なGalois拡大である。
>>44より N/M は強正則なGalois拡大である。
M/K はGalois拡大であるからpart1の473より G(N/M) は G の正規部分群である。
part1の488より G(N/K)/G(N/M) は G(M/K) に同型であるから
|G(N/K)| = |G(M/K)||G(N/M)|
Ω(part1の82)の標数は 0 か |G(M/K)| の位数および |G(N/M)| の位数の各素因数より大きいから
|G(N/K)| に対しても同様である。
よって、N/K は強正則なGalois拡大である。
証明終
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー
M/K と L/M はそれぞれ強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
さらに G(M/K) (part1の251)と G(L/M) は可解(part1の550)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。
証明
>>45より、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大である。
part1の571より、G(N/K) は可解である。
証明終
M/K と L/M はそれぞれ強正則な準可解拡大(>>38)であるとする。
このとき、L/K は正則な準可解拡大である。
証明
F を M/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>40より、F/K は強正則(>>34)なGalois拡大で G(F/K) (part1の251)は可解(part1の550)である。
L/M は強正則な準可解拡大であるから、>>42より、FL/F は強正則な準可解拡大である。
E/F を FL/F のGalois閉包(part1569)とする。
>>40より、E/F は強正則(>>34)なGalois拡大で G(E/F) は可解(part1の550)である。
N を E/K のGalois閉包(part1の569)とする。
F/K と E/F は>>47の条件を満たすから
>>47より、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。
よって、E/K は強正則な準可解拡大である。
L は E/K の中間体だから L/K は強正則な準可解拡大である。
証明終
命題 387
M/K と L/M はそれぞれ強正則な準可解拡大(>>38)であるとする。
このとき、L/K は強正則な準可解拡大である。
証明
F を M/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>40より、F/K は強正則(>>34)なGalois拡大で G(F/K) (part1の251)は可解(part1の550)である。
L/M は強正則な準可解拡大であるから、>>42より、FL/F は強正則な準可解拡大である。
E/F を FL/F のGalois閉包(part1569)とする。
>>40より、E/F は強正則(>>34)なGalois拡大で G(E/F) は可解(part1の550)である。
N を E/K のGalois閉包(part1の569)とする。
F/K と E/F は>>47の条件を満たすから
>>47より、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。
よって、E/K は強正則な準可解拡大である。
L は E/K の中間体だから L/K は強正則な準可解拡大である。
証明終
強正則な準可解拡大(>>38)全体の集合は正則(part1の136)である。
証明
>>41と>>49と>>42より明らかである。
n ≧ 1 を整数とし、Ω(part1の82)の標数は 0 か n の各素因数より大きいとする。
L/K を拡大(part1の82)とする。
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L があるとき L/K を強正則な単冪根拡大(part1の512)と呼ぶ。
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(part1の82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が強正則(>>51)な単冪根拡大(part1の512)であるとき
L/K を強正則な冪根拡大(>>513)と呼ぶ。
Z を有理整数環とし、p を素数とする。
n ≧ 1 を整数とする。
剰余環 Z/(p^n)Z の可逆元全体のなす群を (Z/(p^n)Z)^* (part1の522)とする。
このとき |(Z/(p^n)Z)^*| (part1の180) = (p^(n-1))(p - 1) である。
証明
１、2、．．．、p^n は Z/(p^n)Z の完全代表系である。
１、2、．．．、p^n の中で p の倍数は p^(n-1) 個ある。
よって、この中で p で割れないものの個数は p^n - p^(n-1) = (p^(n-1))(p - 1)
よって、|(Z/(p^n)Z)^*| = (p^(n-1))(p - 1)
証明終
無職＝クマ
無職の馬鹿は熊氏やのうてワシや。
猫
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー
無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー
無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー
無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー
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無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
猫
クマは泣いているよ 言わないであげてね ほんとのことをｗ
猫
A を可換環とする。
I と J を A のイデアルで、 I + J = A とする。
このとき、x ≡ 1 (mod I)、x ≡ 0 (mod J) となる元 x ∈ A がある。
証明
1 = a + b、a ∈ I、b ∈ J となる a、 b がある。
x = b が求めるものである。
証明終
猫は海外脱出できないが
深谷さんはストーニーブロックの研究所が
永久ポストを用意して2013年に迎え入れようと
ホームページでも宣伝している
きっと豪邸も世話してもらえるだろう
>>448
>つまり『特別な予備知識が無くてもきちんと議論が出来る』という事実
>を「その特別な予備知識を身に付けた上で、その特別な予備知識を用い
>て申し述べる」という方法論が有効です。
猫さんに相談する事が出来て本当によかったと思います。
ありがとうございます。
猫さんの教養の深さが数学と対峙することによって生まれたのか、
数学以外の様々な文化に触れる事によって獲得したのかは
わかりませんが
猫さんの根底にある深い品格を尊敬します。
お世話になりました。
Bさんは若い頃複素解析で名をあげたが
その後生物学に転向した
１５年前に亡くなる前Berkeleyで評判を聞いた
生物学でも立派な業績をあげて成功したという話だった
しかし現在Bさんの名を憶えている数学者は
ほとんどいないだろう
905 名前：１３２人目の素数さん ：2011/11/22(火) 10:42:22.57
Ｍさんは若い頃非可換幾何で名をあげたが
その後性犯罪者に転向した
５年前に大学をクビになる前Berkeleyで評判を聞いた
性犯罪者でも立派な業績をあげて成功したという話だった
しかし現在Ｍさんの名を憶えている数学者は
ほとんどいないだろう
kk(x,y)=0の緑の曲線がそれで、a=√2 のとき、 b≒0.932972
三角形の面積=(1/2)(2a)b=(定数)の曲線を描いていくと、
ab≒(√2)*0.932972≒1.319422で最大になった。
曲線同士が接するとかだったら面白かったんだけど。
猫には品格はありません。単なる獣なので。
猫
猫
猫は海外脱出できないが
深谷さんはストーニーブロックの研究所が
永久ポストを用意して2013年に迎え入れようと
ホームページでも宣伝している
きっと豪邸も世話してもらえるだろう
猫はいつになったら海外に行けるの？
もうあきらめた？
A を可換環とする。
I、J_1、J_2 を A のイデアルで、 I + J_1 = A、I + J_2 = A とする。
このとき、I + (J_1)(J_2) = A
証明
A = (I + J_1)(I + J_2) = I^2 + I(J_2) + (J_1)I + (J_1)(J_2) ⊂ I + (J_1)(J_2)
よって、I + (J_1)(J_2) = A
証明終
虚偽院生の意義を説明してください。
猫
A を可換環とする。
I、J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、 I + J_i = A、i = 1、．．．、n とする。
このとき、I + (J_1)．．．(J_n) = A
証明
n に関する帰納法を使えば n = 2 の場合(>>78)に帰着する。
証明終
自分より偉い人に嫉妬スルのは無意味ですね。深谷さん程の大数学者を
欲しがる場所がアルのは当然の事です。加えてそういう立派な研究者が
変な場所で毒まみれになるのは非常に勿体無い事ですから、だから数学
の進歩の為にもその結論は非常に喜ばしい事だと思います。
でもまあ国内・国外を問わずで、あの人もこの人もでは大変な事ですね。
猫
私はまだ国内に残って２ちゃんを焼き払うという役目が残っているので。
猫
A を可換環とする。
J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、 i ≠ k のとき J_i + J_k = A とする。
a_1、．．．、a_n を A の任意の元の列とする。
このとき x ≡ a_i (mod J_i)、i = 1、．．．、n となる x ∈ A がある。
証明
>>80より、各 i に対して J_i + Π{J_k； k ≠ i} = A である。
よって、>>66より
e_i ≡ 1 (mod J_i)
e_i ≡ 0 (mod J_k)、k ≠ i
となる e_i ∈ A がある。
x = (a_1)(e_1) + ．．．+ (a_n)(e_n) とおけばよい。
証明終
外から攻撃をされるよりも、内部から焼き払われる方がキツいと思うので。
猫
A を可換環とする。
I と J を A のイデアルで、 I + J = A とする。
このとき、I ∩ J = IJ である。
証明
IJ ⊂ I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ JI + IJ = IJ
よって、I ∩ J = IJ である。
証明終
A を可換環とする。
J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、i ≠ k のとき J_i + J_k = A とする。
このとき、J_1∩．．．∩J_n = (J_1)．．．(J_n) である。
証明
n に関する帰納法を使えば n = 2 の場合(>>85)に帰着する。
証明終
A を可換環とする。
J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、 i ≠ k のとき J_i + J_k = A とする。
(A/J_1)×．．．×(A/J_n) を環の直積とする。
各 i に対して π_i：A → A/J_i を標準の準同型とする。
写像 f：A → (A/J_1)×．．．×(A/J_n) を f(x) = (π_1(x)、．．．、π_n(x)) で定義する。
このとき f は環の全射準同型であり、
同型：A/(J_1)．．．(J_n) → (A/J_1)×．．．×(A/J_n) を引き起こす。
証明
明らかに f は環の準同型である。
中国の剰余定理より f は全射である。
f の核は J_1∩．．．∩J_n であるが、>>86よりこれは (J_1)．．．(J_n) に等しい。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終
A_1、．．．、A_n を必ずしも可換とは限らない環とする。
B = (A_1)×．．．×(A_n) を環の直積とする。
このとき、B^* (part1の522)は群として (A_1)^*×．．．×(A_n)^* に同型である。
証明
自明である。
Z を有理整数環とする。
n ≧ 2 を有理整数とし p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数の全体とする。
n = Π(p_i)^m_i、i = 1、．．．、r とする。
このとき剰余環 Z/nZ は ΠZ/((p_i)^m_i)Z に同型である。
証明
i ≠ k のとき (p_i)^(m_i) と (p_k)^(m_k) は互いに素であるから
((p_i)^m_i)Z + ((p_k)^m_k)Z = Z である。
よって、>>87より Z/nZ は ΠZ/((p_i)^m_i)Z に同型である。
証明終
Z を有理整数環とする。
n ≧ 2 を有理整数とし p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数の全体とする。
n = Π(p_i)^m_i、i = 1、．．．、r とする。
このとき (Z/nZ)^* は Π(Z/((p_i)^m_i)Z)^* に同型である。
証明
>>89と>>88による。
Z を有理整数環とする。
n ≧ 2 を有理整数とし p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数の全体とする。
n = Π(p_i)^m_i、i = 1、．．．、r とする。
このとき |(Z/nZ)^*| = Π((p_i)^(m_i - 1))(p_i - 1)
証明
>>90と>>53による。
クマは泣いているよ 言わないであげてね ほんとのことをｗ
血膿と汚臭を四周に放ちつつ、なおも歩き回っているという。
もともと悪臭紛々たる存在が更に一層堪えがたい肉塊の怪物と成り果てているとか。
ゆめゆめ傍には近寄ること無きように老婆心ながら御注意いたしおくもの也。
おぞましや かったいチョンの βチョン
以前から人前での尿漏れや脱糞、放屁はβチョンにとっては平常、当たり前の所業と
なっていたようだけれど・・・
でl=1,2,3 というところまでわかっています。
で、
l=1のとき、
①⇔1/m+1/n=0
これを満たすｍ、ｎはない。
となってるのですが、これを満たすｍ、ｎがないとわかるのはなぜですか？
｜f(a) g(a) h(a)｜
｜f(b) g(b) h(b)｜を微分せよ
｜f(x) g(x) h(x)｜
また
｜f(a) g(a) h(a)｜
｜f(b) g(b) h(b)｜を満たすc(a<c<b）の存在をいえ
｜f(c) g(c) h(c)｜
前半は、あってるかはわかりませんが、出来ました。後半は何か、定理を使えばいいのはわかるのですが、何を使えばいいのかわかりません。
特に教育現場に、性犯罪者を復帰させるべきではない
１、2、．．．、p^n の中で p の倍数は p^(n-1) 個ある。
よって、この中で p で割れないものの個数は p^n - p^(n-1) = (p^(n-1))(p - 1)
よって、|(Z/(p^n)Z)^*| = (p^(n-1))(p - 1)
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