複素数・虚数総合スレ

1 ：2011/02/23 〜 最終レス ：2013/01/26

(1+i)^(1+i) = (cos(ln√2)-sin(ln√2))/(e^(π/4))+i*(√2*sin(ln√2+π/4))/(e^(π/4))

2 ：

俺はjを使うよ

3 ：

C=R[X]/(X^2+1)
猫

4 ：

http://www.google.co.jp/search?q=%28cos%28ln%81%E32%29-sin%28ln%81%E32%29%29%2F%28e^%28%83%CE%2F4%29%29%2Bi*%28%81%E32*sin%28ln%81%E32%2B%83%CE%2F4%29%29%2F%28e^%28%83%CE%2F4%29%29-%281%2Bi%29^%281%2Bi%29

5 ：

>>2
子電流or交流電流にiを使う電気工学家乙｡
電気工学では虚数i改めjを他の代数と特に区別し、係数の後ろではなく前に記したりとか
より実理的だったりするんだよね｡
3+4i=3+j4

6 ：

交流の計算わりと好き

7 ：

存在しない数っていうレッテルをどうにかして欲しい
本当に存在しない数は０・Ｘ＝１の解とかだろ

8 ：

>>7
X=1/0

9 ：

>>8
それは定義されない

10 ：

wheel theory

11 ：

>>7
理解する人が居るだけまだ良い方じゃないか。
巨大数スレなんて、探索している奴でも平気で最大値が存在しないとか言っているんだぜ。
なんだよそれ。

12 ：

>>7
虚数ってアレじゃね？
アタマの悪いヤツには見えないなんとかみたいな

13 ：

濃度と虚数を統合することってできないかな？

14 ：

それは複素数の部分集合の濃度を調べるってこと？
それとも濃度を複素数を使って表すこと？

15 ：

濃度が濃くなって、溢れた部分が虚数みたいなイメージで。

16 ：

よくわからないけどそれは連続体濃度より大きい濃度ってことでおｋ？

17 ：

連続体濃度って、実数としてみた場合だよね？
複素数としてみた場合はどうなるんだろう？

18 ：

Ｃの任意の元をa+bi（a,b∈R）とする
各元に於いてaをすべて集めた集合をA,iの係数bをすべて集めた集合をBとする
このときA,Bの濃度は共にアレフゼロ
よってCの濃度は(Aの濃度)×(Bの濃度)=アレフゼロ×アレフゼロ＝アレフゼロ

19 ：

アレフノートだと可算てことになっちゃうが…

20 ：

もうやだ死にたい………orz
×アレフゼロ
○アレフ
です

21 ：

Bの濃度ってなんだ、実数部ゼロじゃないの？

22 ：

え、Ｃって純虚数の集合じゃなくて複素数の集合だよね？
実数部0の意味がよくわからない……

23 ：

＞各元に於いてaをすべて集めた集合をA,iの係数bをすべて集めた集合をBとする
これどういう意味？

24 ：

Ｃの任意の元a+biの実数部aの集合がAで虚数部分の係数の集合がB
ってことです

25 ：

少し訂正
Ｃの任意の元a+biの実数部a全体からなる集合がAで虚数部分の係数b全体からなる集合がB
ってことです

26 ：

あ
aとbは任意だからＡ＝Ｂ＝Ｒになりますね……

27 ：

結局iはどこに消えたの？

28 ：

すべてのbiからなる集合B_iを考えてもbにbiを対応させる写像f:B→B_iを考えると全単射になるから濃度は変わらない

29 ：

つまり、虚数になる濃度は虚数の虚数って事になるの？

30 ：

虚数になる濃度……？

31 ：

アレフiってなんだろうか？

32 ：

んなもん知らんがな（´・ω・｀）

33 ：

まずアレフ-1だな。

34 ：

濃度がアレフ2の集合からいくつかの要素を取り除けば濃度はアレフ1になる。同様にアレフ1の集合からいくつかの要素を取り除けばアレフ0になる。よって、同様な取り除き方でアレフ0の集合からいくつかの要素を取り除けばアレフ-1になる。
異論は許さん。

35 ：

さっそく異論だが、いくつかという表記がなんとなく可算的で怪しい。
だから取り除き方を具体的に明示する必要がある。
それに確か選択公理を認めるとアレフ０未満の濃度は存在しなくなるから
アレフ-1はZFの範疇で構成することになる。

36 ：

よし、なら一般連続体仮説採用しようぜ！

37 ：

お誕生日おめでとうございます。
アールフォルス先生。

38 ：

アレフ０未満の濃度は有限濃度だ。選択公理があろうがなかろうが関係ない。
有限濃度で 0 まで減ったら空集合だから取り除きようがない。
有限順序数 (有限濃度と同じ) 全部を集めた集合の濃度がアレフ0。
アレフ0 の濃度の順序数を全部集めた集合の濃度がアレフ1。
アレフn の濃度の順序数を全部集めた集合の濃度がアレフn＋1。
といった調子だ。

39 ：

>>38
それベスnの定義とちやうか？

40 ：

ベスnってググっても分からんかったが、ひょっとして base＝基数？

41 ：

アレフの次

42 ：

ヘブライ語でアレフの次はベイトと発音するんとちゃうか？

43 ：

kingサンがココに復活したら、ワシが思いっきり仲良くしたるがな。
猫

44 ：

本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！

オツピーオツピー(⌒-⌒; )
そしてバカオツ（ーー；）
キチガイピーヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ
バカオツ（ーー；）... マジ乙警！
オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
口調も真似てますバカオツ（ーー；）...
オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
キチガイピーヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ

45 ：

そうか、それはすまんかった

46 ：

>>44
偽物バカオツ（ーー；）！
オツピーオツピー♪
頑張れよ！偽物！

47 ：

つい最近理解した
正則→Taylor級数→Cauchyの積分定理
特異点→Laurent級数→留数積分定理

48 ：

愛しのローラン

49 ：

>>1

1+i = (√2)e^(iπ/4) = e^{ln(√2) +i(π/4)},

(1+i)^(1+i) = e^{[ln(√2) +i(π/4)](1+i)}
　　　　　　= e^{ln(√2)-(π/4)}･e^{i[ln(√2)+(π/4)]}
　　　　　　=(√2)e^(-π/4)･e^(i[ln(√2)+(π/4)]}
　　　　　　= r･e^(iθ),
ここに
　r = (√2)e^(-π/4),
　θ = (π/4) + ln(√2),

50 ：

複素ニューラルネットワークをよろしく
(*^^*ゞ

51 ：

うるるせえ

52 ：

猫

53 ：

(-1-i)^60

54 ：

i^2 = 1 であることの説明：
√(-2) ＝ i ・ √2
√(-3) ＝ i ・ √3
これを辺々掛けて
√((-2)・(-3)) ＝ i^2 ・ √(2・3)
√6 ＝ i^2 ・ √6
よって
1 ＝ i^2

55 ：

1=-1の証明
-1=e^(πi)=(e^(2πi))^(1/2)=1^(1/2)=1

56 ：

>>55
おそろしや…
０・９９９９９９…＝１の証明（有名
0.999999…=xとおく
10x=9.999999…
10x-x=9.999999…-0.999999…
9x=9
x=1
スレ違いｽﾏｿ

57 ：

(参考書)

「虚数の情緒―中学生からの全方位独学法」

吉田 武【著】
東海大学出版会
発行: 2000/02/20
1001p / 21cm / A5判
ISBN： 9784486014850
価格： \4,515 ･････ 図書館で借りた方がいい

　本書は人類文化の全体的把握を目指した科目分野に拘らない"独習書"である。
歴史、文化、科学など多くの分野が、虚数を軸に悠然たる筆致で書かれている。
また人生の「参考書」ともなるよう、様々な分野の天才達を縦横に配した。
漢字、電卓の積極活用なども他に例の無い独特のものである。

　西洋の一元的な見方を数直線に譬えれば、東洋のそれは「複素平面」、大小を超越した「虚数」の世界にある、と云えよう。
「虚数の情緒」とは、この意味なのである。
世界が西洋流の合理主義一色で染められようとしている今こそ、我々は本来持っていた多元的な見方を蘇らせ、雨の日をたのしむ術を「対立と克服」ではなく「調和と包摂」を旨とする東洋的知性の存在を知らしめねばならない。

58 ：

e^2πi = 1 ( = e^0 ) →→→ 2π = 0 というミスは起こりやすいが、
cos 2π = 1 ( = cos 0 ) →→→ 2π = 0 というミスは少ない。

59 ：

エクセルでは、acos( cos( 2*PI() ) ) = 0 だな。

60 ：

ガウスってのは、なんで複素数の理論の発表を出し渋ったの？？

61 ：

複素数に限った話じゃねえし

62 ：

>>56
1/3 = 0.333333…
両辺に 3を掛けると
3 * 1/3 = 3 * 0.333333…
1 = 0.999999…

63 ：

>>60
書こうと思っていたが
アーベルの論文を見てその必要を感じなくなったらしい

64 ：

>>57
バカっぽい文章だな。
虚数を考えついたのは西洋人なのに、
勝手に東洋人のものみたいに言ってやがるよ。
こういう無神経さは実に恥ずかしいね。

65 ：

複素数の小数表示のようなリテラル表現を考えた。
τ = 2πiとしてz = x + τyをx.yと書く。ただし、0 ≤ y < 1。つまり対数主値のみを表現する。
例えば、
1 = e^0.0.0
-1 = e^0.0.5
i = e^0.0.25
e = e^1.0.0
τ = e^1.83….25
1/τ = e^-1.83….75
のように0でない任意の複素数が表せる。

66 ：

↑すごいな！
実数に使っても
6.02×10^23 = e^54.7545.0
みたいにコンパクトに書ける。
これなら万億兆京とかキロメガギガテラペタとか浮動小数とかいらないね！
いっそ、e^を省いて
6.02×10^23 = 54.7545.0
とかにすればよりスッキリだけど。

67 ：

良スレだな

68 ：

掛け算は楽だが、足し算は悲惨

69 ：

|x| > |y| として
x + y = x(1 + y/x)
だから
log(1 + e^x)
を計算すればいいだけだよね。
計算機で計算すること考えると、乗法で誤差が発生しないのはすごい利点に思える。
浮動少数だと加法も乗法もどちらも発生誤差があるからね。

70 ：

浮動小数点数は汚いとずっと感じていたけれど、それじゃあきれいな（自然な）のは何かは思いつかなかった。
でも、これがその答っぽい。

71 ：

>> 計算機で計算すること考えると、乗法で誤差が発生しないのはすごい利点に思える。
>> 浮動少数だと加法も乗法もどちらも発生誤差があるからね。
間違い。加法だとか、乗法で誤差が発生しているんじゃない。
多くの小数の場合、浮動小数に直すときに誤差が発生している。
そのような数値を用いて計算されるから、どのような演算であっても誤差がつきまとう。
逆に、誤差の含まれない小数もある。ある処理系では、0.5+0.25=0.75を誤差無しに計算可能。
さらに、整数型変数ならば、処理可能な範囲の計算であれば、加算も乗算も誤差はない。

72 ：

>>71
ソレは：
http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_overflow
http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_underflow
の両者の可能性であって：
http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_overflow
の事ではないという理解で正しいですか？
猫

73 ：

>>72　ソレってどれ？
overflowやunderflowという考えは、いずれも、「演算結果」としての概念。
だから、その理解は71で書いた内容とは異なる
71では、浮動小数点方式での加算、乗算結果に誤差が含まれる場合があるのは、
演算自体ではなく、浮動小数点に直すとき、つまり、エンコード時に誤差が
発生していることがある事を指摘している。
多くの小数は、浮動小数点に直すときに誤差が含まれる。従って、それを用いた
加算や乗算結果は必然的に誤差を含む。
浮動小数点で予め登録されている小数は、浮動小数点に直しても、誤差が含まれない。
そのような値同士の加算や乗算結果は、誤差を含まない場合もあるが、含む場合もある。

74 ：

>>73
そのエンコードというのは例えば『２進と１０進の相互変換』の事です
よね。そういう意味であれば「整数型の変数」の時には変換しても何も
起こらないのは理解が出来るんですよ。でも浮動小数点の場合というの
は、では「丸め誤差」の事を言うてはるんですかね？　でも例えば『２
進から１０進へのエンコード』は（２のベキ乗が１を小数表示で割り切
る事から）何も起こらないと思いますが、でも『１０進から２進へのエ
ンコード』ではそうも行かない感じがします。問題は例えばソコですか？
猫

75 ：

>>73
今気付きましたが、『１０進から２進へのエンコード』でも全く一緒で
すね、何も起こりませんワ。そもそも：
★★★『何進法で考えても有理数と無理数の区別は全く一緒なのは当たり前』★★★
なので、ソレは当たり前ですね。
変な事を訊いて失礼しましたワ。もう理解したからエエです。
猫

76 ：

>>75
猫には数論的な感性が無いのかな？
10=2*5だから、10進は2進と5進の合成で、5に極がある場合は10進ではfaithfulに表現できるけど、2進ではできないよ。
例えば、1/5とか。

77 ：

物理畑は解析信者しかいないから何いっても無駄だろう

78 ：

浮動小数点を64ビットで扱うある処理系では、内部では
0.500→　3F E0 00 00 00 00 00 00
1.000→　3F F0 00 00 00 00 00 00
2.000→　40 00 00 00 00 00 00 00
3.000→　40 08 00 00 00 00 00 00
4.000→　40 10 00 00 00 00 00 00
0.100→　3F B9 99 99 99 99 99 9A
0.200→　3F C9 99 99 99 99 99 9A
0.300→　3F D3 33 33 33 33 33 33
の様な感じで保存している。整数値や、0.5等は綺麗(=誤差無し)だが0.1等では誤差が入り込んでいる
様子を確認してもらえると思う。
>> 問題は例えばソコですか？
あなたが何を問題にしたのかは知らないが、私が指摘したのは、>>69の
>> 浮動少数だと加法も乗法もどちらも発生誤差があるからね。
これ。計算機で浮動小数点を用いても、誤差が入り込まない場合だってある。
また、計算機の浮動小数点表現は、精度をある程度制限し、扱える桁数を大きくしたもの。その性質が目的の
用途に適していたなら使えばいいし、そうでなければ、整数型変数や、多倍長処理を導入すればいい。
要はどのように設計するか。

79 ：

>>71
標本化誤差（量子化誤差）は、はなから問題にしてないよ。
ただし、浮動小数表現では選んだ基数の数論的影響を受けちゃうでしょ。
例えば、話を明快にするために素数基数pの場合を考えると、分母にpと異なる素数因子を持つ有理数は有限精度の浮動小数では表現できないのは当たり前で、そういうことを気にする場合は実数Rではなく、p進Qpに埋め込むべき。（Qpだとp進での浮動小数は自然）
>>65 の表現は、有限素点の影響を受けない純粋な無限素点での表現として素直だと思う。まぁ、有理数が誤差無しには表せないんだけどね。

80 ：

>>78
＞>> 浮動少数だと加法も乗法もどちらも発生誤差があるからね。
＞これ。計算機で浮動小数点を用いても、誤差が入り込まない場合だってある。
ほとんどの場合に誤差があるじゃん。
ほとんどってのは、例えば、64ビットの浮動小数にユニフォームな確率分布を入れて考えて。
それに対して>>69 は対数表現だと乗法では確率1で誤差が無いって言ってるんだけど。

81 ：

>>69
>浮動少数だと加法も乗法もどちらも発生誤差があるからね。
浮動小数だと誤差がでるのでなくて、正確にいえば、整数しかサポートしてない計算機で整数でないものを計算するとサポートしてないから当然のように誤差（不正確な答え)が累積するってこと。

82 ：

精度を固定した場合、
加算では誤差はほとんど発生しないが、乗算で精度を失う可能性がある通常世界と
乗算では誤差はほとんど発生しないが、加算で精度を失う可能性がある対数世界があるだけ
１対１対応。どちらが優れていると言うわけではない
好きな世界の住民になればよく、必要になったときに出張すればよい

83 ：

>>69,70
計算機のことに詳しくないみたいだから一応いっておくけど、IEEEは仮数部が結局は整数リングの計算になってるから、そこでいう誤差と浮動小数表記はまったく関係ない。

84 ：

整数リング

85 ：

なんかいちいち反応がアホ過ぎて相手をする気が無くなったけど、
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0
の6個の解が、例えば7進で
x = e^0.0.1, e^0.0.2, e^0.0.3, e^0.0.4, e^0.0.5, e^0.0.6
と書けるのとか、ちょっと良いと思うんだ。

86 ：

浮動小数だから有理数・実数と思ったけど、複素数整数の話をしたいの？
なんなの？

87 ：

>>浮動少数だと加法も乗法もどちらも発生誤差があるからね。
このレベルの知見じゃ何いっても無理だろ

88 ：

>>65 に書いたようにアルキメディアンな局所体の話

89 ：

>>65は代数や整数の話じゃなくて数の表記法の話だろ。
計算機や代数の知見も無茶苦茶の様子だからそのレベルだとあまり背伸びして独学しても得るものはないと思うよ。

90 ：

ただ>>65の表記は、似たような記法を個人的に使っていたけど、数の表記法としてはかなり優れていると思う。

91 ：

>>88
kwsk

92 ：

>>85
それ、ただドットを使った表記ってことだけで浮動小数（や固定小数）や科学表記(2.7E-10)の概念とまったく関係ない。

93 ：

>>76
ご指摘、非常に納得です。どうも有り難う御座いました。1/5は2^N-倍しても
有限表示にはナリマセンから、従ってfaithfulにはなりませんよね、確かに。
猫

94 ：

0.999...は1じゃないぃ！！
とか言ってた厨房だろどうせw

95 ：

複素数は現実に存在するものではありませんが、
途中の代数方程式を常に解くための方便として
必要になるものです。最終的な結果が物理的に
意味を持つ量では実数になります。

96 ：

>>85
そこからリングとかイデアルとかの議論に向かうのかと思った。
ガウス合同式のように有用な事例も交えてかつ分かり易く応用していくのかと期待してたけど、がっかり。

97 ：

>>90
似たような表記法ってどんなの？

98 ：

>>95
そうなの？
量子力学とかは物理的に無意味？

99 ：

実在の確率密度の前段階？として複素数の姿で相互作用する。

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