初等幾何学の難問（中学レベル）

1 ：

凸四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ，ＢＤの交点をＯ
とするとき、ＯＡ＜ＯＣ、ＯＤ＜ＯＢとする。
ＡＣ，ＢＤの中点Ｍ，Ｎを結ぶ直線とＡＢ，ＣＤ
との交点をＥ，Ｆとし、ＣＥ，ＢＦの交点をＰとすれば、
直線ＯＰは線分ＥＦを２等分することを証明せよ。

2 ：

凸四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯとし、
ＡＣ，ＢＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。
四辺形内に点ＰをＮＰ//ＡＣ、ＭＰ//ＢＤにとれば、
△ＯＡＢ＋△ＯＣＤ＝２△ＰＢＣ
であることを証明せよ。

3 ：

台形ＡＢＣＤにおいて、ＡＤ//ＢＣとし、
対角線ＡＣ，ＢＤの交点をＯとする。
Ｏを通る直線が辺ＡＤ，ＢＣと交わる点を
Ｍ，Ｎとし、ＡＮ，ＢＭの交点をＰ、
ＣＭ，ＤＮの交点をＱとすれば、
Ｐ、Ｏ，Ｑは同一直線上にあることを証明せよ。

4 ：

凸四角形ABCDについて、BA≠BCが成り立つ。
三角形ABC,三角形ADCの内接円をそれぞれω_1、ω_2とする。
直線AD,CDに接する円であって、直線BAとAに関してBの反対側(Aは含まない)で接し、
直線BCとCに関してBの反対側（Cは含まない）で接するものが存在したとし、この円をωとする。
このとき、ω_1、ω_2の2本の共通外接線はω上で交わることを示せ。

5 ：

age

6 ：

すべての三角形は辺を3つ持つことを証明せよ。

7 ：

>>1
生徒にいじめられんなよ。

8 ：

作図して折れば分かるだろ。射影幾何学つかえよ。

9 ：

作図して祈れば分かるだろ。祈祷幾何学つかえよ。

10 ：

>>1
ベクトル使ったら一瞬だろ。本スレつかえよ。

11 ：

>>4 2008年IMOの�E
金メダリストの副島氏でも正答できなかった超難問

12 ：

>>11
俺は解けたけど？

13 ：

良かったね
君には折り紙製の金メダルをあげよう

14 ：

age

15 ：

>>1の問題を期末テストに出した。
だれもできなかった

16 ：

そうですか

17 ：

猫に小判、まで読んだ。

18 ：

ココかてカキコしたらアカン。
猫

19 ：

猫が寝転んだ。

20 ：

猫の手なんて借りたくない。

21 ：

猫の耳に真珠まで読んだ

22 ：

まだスレ主がここみてるか解からんから解き方はちゃんと書かないけど
�Aは普通に面積比でゴリ押しで解けた
�Bもメネラウス連発で
�@はしらね

23 ：

age

24 ：

難問なのに中学レベルって、なんか暑い冬みたいな中途半端さだな

25 ：

ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＡＤ上の点をそれぞれＥ，Ｆとし、
ＣＥ，ＣＦとＢＤとの交点をＰ，Ｑとする。
（ＡＥ／ＥＢ）×（ＡＦ／ＦＤ）＝２ならば、
ＢＰ：ＰＱ：ＱＤ＝ＡＦ：（ＢＥ＋ＤＦ）：ＡＥ
であることを証明せよ。
＊このスレッドに証明の過程もすべて書き込むこと

26 ：

楕円体ax^2+by^2+c^2=1の表面にできる格子点の数をa,b,cで表しなさい。

27 ：

楕円体ax^2+by^2+cz^2=1の表面にできる格子点の数をa,b,cで表しなさい。

28 ：

>>25
ACとBDの交点をOとすると
OQ:QD=△COQ:△CDQ=(△ACQ/2):△CDQ=AF/2:DF
　　　　={AF×(EB/AE)×(FD/AF)}:DF=EB:AE
となるのでQD/OD=AE/AB
同様にBP/BO=AF/AD
ここでOD=BO, AB=ADより
BP/BD=AF/2AB, QD/BD=AE/2AB
PQ/BD=1-BP/BD-QD/BD=(BE+DF)/2AB
以上からBP:PQ:QD=AF:(BE+DF):AE

29 ：

>>3
パップスの定理より明らか。
>>2
△ABCで三角形ABCの面積を表すものとします。
△OAB+△OCD=△ABC+△DBC-2△OBC=2(△MBC+△NBC-△OBC)
=2(△NBC-△OBM)=2(△NBC-△OPB)=2(△NBC-△NPB-△NPM)
=2(△NBC-△NPB-△NPC)
=2△PBC
今外出中なんで家に帰ってから1と4を紙に書いてやってみます。
間違ってたらご指摘を。

30 ：

>>1
適当に…
AE:EB=△ANM:△BMM=△MNC:△MND=DF:FC …�ﾒ
AE/EB=@とおくと、AE/EB=@/(1-@)となるから、
△EPO
＝◇ABPO-△BPE-△AEO＝◇ABPO-(1-@)△BPA-@△ABO＝△APO-@(△BPA-△ABO)＝△APO-@(△BPO-△APO)
＝@△BPO+(1-@)△APO
です。これを用いて、
△EPO/△BPC
=@△BPO/△BPC+(1-@)△APO/△BPC＝@(△BPO/△BPD)(△BPD/△BPC)+(1-@)(△APO/△APC)(△APC/△BPC)＝@BO/BD*(1-@)/@+(1-@)AO/AC*@/(1-@)
＝(1-@)BO/BD+@AO/AC …�ﾓ
�ﾒより同様にすると、
△FPO/△BPC＝(1-@)OD/BD+@OC/AC …��
メネラウスの定理より、
CM/MO*ON/ND*DF/FC=1 ⇔ CM/MO*ON/ND*(1-@)/@=1 ⇔ (1-@)ON/ND=@MO/CM ⇔ (1-@)*(BO-OD)/BD=@*(OC-AO)/AC (∵M,NはBD,ACの中点)
⇔(1-@)BO/BD+@AO/AC=(1-@)OD/BD+@OC/AC
⇔△EPO＝△FPO (∵�ﾓ��)
よってOPはEFを二等分する。

31 ：

ω_1,ω_2,ωに接し、BDに平行であり、BDそのものではない3本の直線が各々接する点を順にP,S,Tとします。ただし、Tは、BDに近い方を選ぶとします。
BDとω_1,ω_2の接点をQ,Rとします。
相似拡大の変換で平行である関係が保たれることを利用すると、A,P,TとS,C,Tはそれぞれ同一直線上にあります。 …�ｸ
ω_1とAB,AD、ω_2とCB,CDの接点をK,L,M,Nとおき、ωとAB,BC,CD,DAとの接点をW,X,Y,Zとします。
AB+BC
=AW+BC-BW=AZ+BC-BY==AZ-CY=AZ-CX=AD+DX-CX
=AD+CD
AK=AL,CM=CNより、
BK+BM=DL+DN …�ｺ
また、BM=BQ,BK=BR,DL=DR,DN=DQより、
BK+DL=DN+BM …��
���ｺを連立させて解くと、BK=DC,BC=DLを得ます。
つまり、BR=QDであり、Rは△ABDの内接円とBDの接点だから、Qは△ABDの角A内の傍接円とBDの接点になります。同じようにRは△BCDの角C内の傍接円とBDの接点です。
よってA,P,Qと、R,S,Cはそれぞれ同一直線上にあります。
PとRはQとSをω_2をω_1に相似拡大するときに写る点なので、PQ,RSはこの相似の中心、つまり、共通外接線の交点で交わります。
�ｸより、PQ,RSはTで交わり、Tはω上の点だから、ω_1とω_2の共通外接線はω上で交わります。
個人的にはやりやすかったかな。ベクトルを習ってない僕的には>>1の方が難しかった。
相似を使うのはすぐに見抜けるし、あとはA,P,Qが一直線に並ぶだけってとこまいけたら長さでいろいろやればQが傍接円との接点になることもすぐわかるし…
ほんまに国際数学オリンピックの問6か??
これなら問4にすべきやろ。

32 ：

四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ，ＤＡ上にそれぞれ、
点Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓを、
ＡＰ：ＰＢ＝ＣＲ：ＲＤ，ＢＱ：ＱＣ＝ＤＳ：ＳＡ
にとるとき、四辺形ＰＱＲＳの面積が、四辺形ＡＢＣＤの面積の
半分ならば、Ｐ，ＲはそれぞれＡＢ，ＣＤの中点であるか、
または、Ｑ，ＳはそれぞれＢＣ、ＤＡの中点であることを証明せよ。

33 ：

>>32
この問題は超難問ですが、数学オリンピックの過去問では
ありません。

34 ：

基本こそ厳密に証明しようとすれば難しい。
次の問題をどうぞ。
「二つの三角形の対応する３辺がそれぞれ平行ならば、両三角形は相似である」
ということを、厳密に証明せよ。

35 ：

「相似」って、どれが定義なんだっけ？

36 ：

「相似の定義」
一方の図形が他方の図形の拡大または
縮小した図形であるとき、２つの図形は相似であるという

37 ：

拡大または縮小　を定義せよ

38 ：

>>37
要するに、「できない」んでしょ？
証明が。
多少厳密でなくてもいいから、やってみてよ。
東大理学部数学科の学生さん、京都大学理学部数学科の学生さん。
中学レベルの問題だよ。

39 ：

ヒント：二つの三角形の対応する三つの角が等しいことを証明する。
これでできなかったら、東大の学生証を没収！

40 ：

>>34
この中学レベルの問題が証明できないということは、
東大理系の学生のほとんどが、小手先の受験テクニックで
数学の試験を突破したことになる。

41 ：

拡大または縮小：
　恒温の一定湿度において、十分な剛性を有する物体をそのいかなる
2点の長さを、ある一定の倍率の長さにする物体をつくる。
思考実験ではイメージだけ作成しても可能。

42 ：

次の式が成り立つような6 桁の数abcdef で考えられるのはア通りです。但し
abcde やcdefa は5 桁の整数であることを表します。(中2 松崎)
abcde+bcdef+cdefa+defab+efabc+fabcd=abcdef÷2

43 ：

a≠b≠c…とかの条件はないの?

44 ：

まだ書ける。
このまま三が日まで規制かからないことを祈る。

45 ：

>>34
平行移動させて角が一致するようにしたらいいんじゃないか??

46 ：

>>34
　各辺を延長して交わらせ、同位角が等しいことを使う。

47 ：

分割合同の問題は相当な難問が作れそうだ

48 ：

>>42
そのabcdefがa10^5+b10^4+c10^3+d10^2+e10^1+f10^0を表しているのなら、
多分アは16。与式を整理して、22222(a+b+c+d+e+f)=abcdefを得るので、
abcdef≡0(mod 22222)。よって、100000≦abcdef≦999999より、5≦a+b+c+d+e+f≦45。
a+b+c+d+e+f≡0(mod 5)の場合とか考慮して、機械的に16通りと求まると思う。
>>46
厳密という以上、ユークリッド幾何学の第五公準を引用した上で、
しかも、各辺を延長した直線の位置関係によって何回も場合分けしないといけないのかな？
ただ、正直そこまでくると根気の問題だよな…

49 ：

厳密じゃない証明って？

50 ：

>>47
四角形を相似な四角形2011個に分割して

51 ：

>>49
さあ。厳密な証明がある以上、厳密ではない証明もあるんじゃないの？
「厳密な証明」を要求する問題を作った出題者にでも聞いてくれ。

52 ：

>>51
厳密ではないモノは数学では証明とは言いません。
猫

53 ：

猫がまともなこと言うなボケ

54 ：

ワシは任意の主張をスル権利がアルので。悪かったナ。
猫

55 ：

ワシは任意のスレを潰す権利がアルので。悪かったナ。
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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

56 ：

ねこはかすで屑でどうしようもない奴

57 ：

棺桶の近いジジイだ、多めに見たれ。

58 ：

1辺4cmの立方体ABCDEFGHをまずA,C,Fを含む平面で切る。つぎにA,F,Hを含む平面で切ったとき、Gを含むほうの立方の体積を求めよ。
（解説）2回目の切断で、1回目の切断と同じ体積の三角錐A-EFHが取れるから、1回目の切断で取れた三角錐の体積をもう1回引けばよい。
…問題集の解説、理系なのに理解できない。納得できん。誰か易しく教えて？

59 ：

>>58
どこがどうわからんのだ？そのままだと思うが。

60 ：

初等幾何ばっかが載ってる問題集あれば教えて君

61 ：

モノグラフ　幾何学

62 ：

岩田至康『幾何学大辞典』
深川英俊『日本の数学 何題解けますか？』
のシリーズは鉄板．洋書では，
Alfred S. Posamentier, C.T. Salkind, "Challenging Problems in Geometry"
Heinrich Dorrie, D. Antin, "One Hundred Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution (Dover classics of
science & mathematics)"
とか？まぁ詳しい人の降臨を待つのじゃ

63 ：

空き家魔人という数学者は
高校時代は、アホの学生だったらしいが
中学生のときに、正多面体は、５つしかありえないことを証明したらしい。
ショ糖幾何はある程度までは動物的な直観が支える世界だから
努力すればなんとかなる。

64 ：

電磁気学の創始者、マクスウェルはユークリッド幾何を愛していました
アインシュタインは、学校の試験をほったらかしにして、ユークリッド幾何をしていました、
ライプニッツは、書籍集の中で、幾何を重要視すべきであると述べています。
ノイマンは、「フォンノイマンの生涯」のなかで
ユークリッド批判者を相手にするなとかなんとか・・
小平さんはユークリッド幾何の愛好者であります。
高度な、抽象的に高度な数学をやるからこそ
論文の全体像を、幾何的な直観で判断するべし。
大体において、初等的な幾何的な調和が無い論文は脳がつかれるからね。ｄ

65 ：

本当なら興味深い話だが、出典は？

66 ：

灘高の数学が解けるヒトいる？
http://ameblo.jp/skredu/theme-10034860549.html

67 ：

脳みそが異次元に行ってから、
現実世界に帰還するには、ユークリッド幾何は重要ですよ。

68 ：

ユークリッド幾何で新しい定理とか見つけたらどの雑誌に
投稿すればいいのか？
今もユークリッド幾何を専門としてる数学者はいるんですか？

69 ：

いますよ

70 ：

>>34 三角形の三辺それぞれを延長した、直線に対して
　　平行線に交わる一直線に対して、
　　ユークリッドの公準の５つ目をつかえってことかいな（？д？）
　　ちなみに９９年前のカレー。　ポアンカレー曰く
　　我々が現実世界を三次元ユークリッド空間と認識するのは
　　目の網膜に映った距離感なしの映像と
　　目の焦点を合わせるための、目の筋肉感覚を。
　　脳内のベクトル空間で合わせているらしいが・・
　　それで、人間は筋肉の数だけ、筋肉の数の次元数のベクトル空間を
　　もっているとかなんとか・・
　　三次元の嫁は要らないな。
　　君達は、結婚しないで、ポアンカレかヒルベルトみたいな数学者になってほしいのだが。
　　なんつーか最近の学生は、細かい知識はまあまあなんだけど、
　　それ以上がねぇ。

71 ：

あとねぇ、顔つきが、幾何学的な調和が無い人とはあんまり付き合わんほうがいい
最近の、イケメン顔とか、美人顔とかとは違って。
なんていうか、幾何学的な、対称性が無い顔つきの人は
あんまりよくないよ・・表面的な性格とかじゃなくて。
なんていうか、人間的に辛抱が足らん人が多いような気がする。

72 ：

>>68
清宮俊雄

73 ：

オリジナル？それともクローン？

74 ：

清宮さんってまだ生きてるの？

75 ：

バルカン人は長寿だからな…

76 ：

中学の頃清宮さんの黄色い表紙の雑誌に解答投稿したことあります

77 ：

初等幾何を言語とすべし

78 ：

最近のテレビ番組では
昔の、平成教育委員会みたいな幾何の問題を見ないな。

79 ：

△ABCの外接円をＣとする｡辺AB､ACに接しＣに内接する円をＣ1､辺AB､BCに接しＣに内接する円をＣ2､辺AC､BCに接しＣに内接する円をＣ3とする。円ＣとＣ1､Ｃ2､Ｃ3との接点をそれぞれP､Q､Rとおく。
AP､BQ､CRは一点で交わることを示せ。

80 ：

相似で一撃

81 ：

外接円より，ひと回り大きな内接円(二等分角の接点を利用)を設定で相似変換に持ち込むとか時間内ではムリゲーと思うけど…
副島氏レベルなら思い付くのでしょね？。

82 ：

俺も問題思いついた。
へびの補題（snake lemma）を証明せよ。
これをきちんと証明できたらきっと代数は一通りおｋだと思う。
あ、ここ幾何学すれか。

83 ：

あっスマン間違えてる
>>81は外接円に内接する、ひとまわり大きな三角形
（角の二等分線と外接円の交点に接する）を利用〜
です。

84 ：

僕レベルで思いつく問題なのでそんなに難しい問題ではないはず…。

85 ：

出題します。
凸四角形ＡＢＣＤは
・∠ＡＢＤ＝９°　・∠ＤＢＣ＝２１°　
・∠ＣＤＢ＝７°　・∠ＢＤＡ＝１８°　を満たす。
この時、∠ＣＡＢを求めよ。
角度変えただけだから…って言ってわかる人は答書かないで下さい！！

86 ：

考えてた人いたらごめん、ていせい。
凸四角形ＡＢＣＤは
・∠ＡＢＤ＝３０-６a°　・∠ＤＢＣ＝６a°　
・∠ＣＤＢ＝２a°　・∠ＢＤＡ＝１５-３a°　を満たす。
この時、∠ＣＡＢを求めよ。

87 ：

ごめん最後の訂正。
凸四角形ＡＢＣＤは
・∠ＡＢＤ＝a°　・∠ＤＢＣ＝３０-a°　
・∠ＣＤＢ＝９０-３a°　・∠ＢＤＡ＝２a°　を満たす。
(０＜a＜３０）
この時、∠ＣＡＢを求めよ。

88 ：

三角形ABCの重心をGとする
GA、GB、GCそれぞれに垂直な直線を引き
それにとってできる好転をDEFとする。
三角形DEFの重心と三角形ABCの重心の中点が三角形ABCの外心であることを示せ

89 ：

自己解決しました
ありがとうございます

90 ：

自己解決してなにより
つーか普通に難しくね？

91 ：

>>87
(120-2a)°
http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の系列1-5そのもの

92 ：

>>88にだれも「日本語でおｋ」と突っ込まないほどの過疎ぶり

93 ：

A､B､Cを通り､AG､BG､CGに垂直な直線…〜と解釈すると東京出版の某誌に>>88と似た問題があります。
誘導に従ってベクトルを利用して、最後は内積計算に持ち込むと意外とあっさり解決しました。
しかし初等幾何で華麗にやる方法はどうしても思い付きませんが…。

94 ：

>>91
正解。トドメをさされたｗ
詳しく見ていないけど次の問題も系列に入っているんかな?
【問題】
凸四角形ＡＢＣＤの内部に点Ｐがあって
・∠ＰＡＢ＝５２°　　・∠ＰＢＡ＝２６°
・∠ＰＢＤ＝２２°　　・∠ＰＣＤ＝６４°
・∠ＰＤＣ＝６６°　　・∠ＰＤＢ＝１６°　を満たしている。
この時∠ＰＣＡを求めよ。

95 ：

>>94
Pが△ABDの中か外かで、２通りの図形ができるような気がしてならない

96 ：

すみません。確かにそうですね。
>>94訂正
Pは△ABDの内部にあります。

97 ：

〔問題〕
　長方形OECDの外側に正三角形ODA, OEB をとる。
　このとき△ABCも正三角形であることを示せ。


OECD ≠ 経済協力開発機構、Organization for Economic Co-operation and Development (英), Organisation de coopération et de développement économiques (仏)
ODA　≠ 政府開発援助、Official Development Assistance

98 ：

>>97
　二辺挟角相等により
　�僊BO ≡ �僂BE ≡ �僊CD
∴ AB = BC = CA,

99 ：

猫は規制されますだ

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