http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170631743/
http://en.wikipedia.org/wiki/Music_and_mathematics
http://scholar.google.com/scholar?q=music+and+mathematics
この下降する無限音階は良くできている
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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
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猫
ニャンポ「なお」
一覧になってて分かり良い
-> 純正律 17までの整数の比 （平均律との差、閾値 1.0％）
1: 1.059463
-> 16/15 = 1.066667 (-0.68％),
-> 17/16 = 1.062500 (-0.29％),
2: 1.122462
-> 9/8 = 1.125000 (-0.23％),
-> 17/15 = 1.133333 (-0.97％),
3: 1.189207
-> 6/5 = 1.200000 (-0.91％),
-> 13/11 = 1.181818 (0.62％),
4: 1.259921
-> 5/4 = 1.250000 (0.79％),
5: 1.334840
-> 4/3 = 1.333333 (0.11％),
6: 1.414214
-> 17/12 = 1.416667 (-0.17％),
7: 1.498307
-> 3/2 = 1.500000 (-0.11％),
8: 1.587401
-> 8/5 = 1.600000 (-0.79％),
9: 1.681793
-> 5/3 = 1.666667 (0.90％),
10: 1.781797
-> 16/9 = 1.777778 (0.23％),
11: 1.887749
-> 15/8 = 1.875000 (0.68％),
-> 17/9 = 1.888889 (-0.06％),
12: 2.000000
調和度が高いとされていますが、
確かに比の整数が小さく一致度も高くなっています。
しかしヨーロッパ音楽の発展の歴史を考えると
逆にこの比を見て協和と名付けたような気がしないでもない。
なんか対数みたいにうまく表せる方法はないでしょうか
今回は diff は単に引き算しただけ。
もう少し改良が必要かも。
平均律 12音階 ： 基音との周波数の比の対数
-> 純正律 17までの整数の比の対数 （平均律との差、閾値 0.012）
1/12 = 0.083333 :
-> log(16) - log(15) = 4.000000 - 3.906891 = 0.093109 (diff -0.009776),
-> log(17) - log(16) = 4.087463 - 4.000000 = 0.087463 (diff -0.004130),
2/12 = 0.166667 :
-> log(9) - log(8) = 3.169925 - 3.000000 = 0.169925 (diff -0.003258),
3/12 = 0.250000 :
-> log(13) - log(11) = 3.700440 - 3.459432 = 0.241008 (diff 0.008992),
4/12 = 0.333333 :
-> log(5) - log(4) = 2.321928 - 2.000000 = 0.321928 (diff 0.011405),
5/12 = 0.416667 :
-> log(4) - log(3) = 2.000000 - 1.584963 = 0.415037 (diff 0.001629),
6/12 = 0.500000 :
-> log(17) - log(12) = 4.087463 - 3.584963 = 0.502500 (diff -0.002500),
7/12 = 0.583333 :
-> log(3) - log(2) = 1.584963 - 1.000000 = 0.584963 (diff -0.001629),
8/12 = 0.666667 :
-> log(8) - log(5) = 3.000000 - 2.321928 = 0.678072 (diff -0.011405),
9/12 = 0.750000 :
10/12 = 0.833333 :
-> log(16) - log(9) = 4.000000 - 3.169925 = 0.830075 (diff 0.003258),
11/12 = 0.916667 :
-> log(15) - log(8) = 3.906891 - 3.000000 = 0.906891 (diff 0.009776),
-> log(17) - log(9) = 4.087463 - 3.169925 = 0.917538 (diff -0.000871),
12/12 = 1.000000 :
k/12 ～ log(a) - log(b)
のとき
2^(k/12) ～ a/b
であるから 1 - (k/12) は
2^[1-(k/12)] = 2 * 2^[-(k/12)] ～ 2 * b/a
で
1 - (k/12) ～ log(2b) - log(a)
となる。
音階数の半分まで表示すれば十分ということですね。
１３音階はどうなるか？
平均律 13音階、基音の周波数ν、周波数ω
log(ω／ν)
-> 純正律 17までの整数の比の対数 （平均律との差、閾値 0.012）
1/13 = 0.076923 :
-> log(17/16) = 0.087463 (diff -0.010540),
2/13 = 0.153846 :
-> log(10/9) = 0.152003 (diff 0.001843),
3/13 = 0.230769 :
-> log(7/6) = 0.222392 (diff 0.008377),
-> log(13/11) = 0.241008 (diff -0.010239),
4/13 = 0.307692 :
-> log(16/13) = 0.299560 (diff 0.008132),
5/13 = 0.384615 :
-> log(13/10) = 0.378512 (diff 0.006104),
-> log(17/13) = 0.387023 (diff -0.002408),
6/13 = 0.461538 :
-> log(11/8) = 0.459432 (diff 0.002107),
3/2 とか 5/4 などの小さい数の比に近い音程が少ないようだ
やっぱり１２音階ほどにはハーモニーが無いのか？
見ると純正律の種類てたくさんあるんね。
音楽素人の私にはなかなか難しかった。
ド＃とレ♭のドに対する比って具体的にいくつなんでしょうか？
私は数学的に素朴に
周波数比が有理数の音階を純正律
周波数比が exp(k/n) の音階を平均律
有理数の分子と分母が大きくなると漸近的に違いが無くなる
と考えていました。
私の耳では１２音階 n=12 でも
平均律と純正律を聞き分けるのが難しい。
上記ページの「視聴」で平均律と純正律を聴き比べられます。
う～ん、同じだｗ
>>9 によれば周波数の違いは 1% もないということなので
中間的な高さの音でたった 5Hz 程度の違い…
ピーというサイン純音で鳴らされると聞き分けるのは困難だろうけど
複音でうなりやハモり具合が聴き取れる人は分かるのだろう。
一方、１２音階の演奏と１３音階の演奏では数％違うだろうから
私でも気付けるのではと思います。
log(ω／ν)
-> 純正律 7までの整数の比の対数 （平均律との差、閾値 0.05）
1/13 = 0.076923 :
2/13 = 0.153846 :
3/13 = 0.230769 :
-> log(6/5) = 0.263034 (diff -0.032265, -12.27％),
-> log(7/6) = 0.222392 (diff 0.008377, 3.77％),
4/13 = 0.307692 :
-> log(5/4) = 0.321928 (diff -0.014236, -4.42％),
-> log(6/5) = 0.263034 (diff 0.044658, 16.98％),
5/13 = 0.384615 :
-> log(4/3) = 0.415037 (diff -0.030422, -7.33％),
6/13 = 0.461538 :
-> log(4/3) = 0.415037 (diff 0.046501, 11.20％),
-> log(7/5) = 0.485427 (diff -0.023888, -4.92％),
これはさすがに気付けるはずｗ
という話があるが、どうだろうか？
基本周波数ν、周波数ω、対数周波数 log (ω/ν)
平均律：n=10音階、k 番目の音 ω = ν 2^{k/n}
純正律：ω= ν* a/b (a,b ∈ 9までの整数)
1 音階の大きさ：2^{1/n} = 1.0718、7.1773％
対数周波数の比較
平均律 X=k/n :
-> 純正律 Y=log (a/b) （差Δ=X-Y、ずれ割合 2^{Δ}-1) (閾値 3.00％)
1/10 = 0.100000 :
2/10 = 0.200000 :
-> log(7/6) = 0.222392 (差 -0.022392, -1.54％),
-> log(8/7) = 0.192645 (差 0.007355, 0.51％),
-> log(9/8) = 0.169925 (差 0.030075, 2.11％),
3/10 = 0.300000 :
-> log(5/4) = 0.321928 (差 -0.021928, -1.51％),
-> log(6/5) = 0.263034 (差 0.036966, 2.60％),
4/10 = 0.400000 :
-> log(4/3) = 0.415037 (差 -0.015037, -1.04％),
-> log(9/7) = 0.362570 (差 0.037430, 2.63％),
5/10 = 0.500000 :
-> log(7/5) = 0.485427 (差 0.014573, 1.02％),
３／２波長の音階が無いのが気になる。
他の音階も純正律と１％以上ずれているし
やはり１２分割のほうがハーモニーがよさそう。
基本周波数ν、周波数ω、対数周波数 log (ω/ν)
平均律：n=11音階、k 番目の音 ω = ν 2^{k/n}
純正律：ω= ν* a/b (a,b ∈ 14までの整数)
1 音階の大きさ：2^{1/n} = 1.0650、6.5041％
対数周波数の比較
平均律 X=k/n :
-> 純正律 Y=log (a/b) （差Δ=X-Y、ずれ割合 2^{Δ}-1) (閾値 2.00％)
1/11 = 0.090909 :
-> log(13/12) = 0.115477 (差 -0.024568, -1.69％),
-> log(14/13) = 0.106915 (差 -0.016006, -1.10％),
2/11 = 0.181818 :
-> log(8/7) = 0.192645 (差 -0.010827, -0.75％),
-> log(9/8) = 0.169925 (差 0.011893, 0.83％),
3/11 = 0.272727 :
-> log(6/5) = 0.263034 (差 0.009693, 0.67％),
-> log(11/9) = 0.289507 (差 -0.016779, -1.16％),
4/11 = 0.363636 :
-> log(9/7) = 0.362570 (差 0.001066, 0.07％),
-> log(13/10) = 0.378512 (差 -0.014875, -1.03％),
-> log(14/11) = 0.347923 (差 0.015713, 1.10％),
5/11 = 0.454545 :
-> log(11/8) = 0.459432 (差 -0.004886, -0.34％),
やはり３／２とか５／４に近い音がない
１２音階てよくできてるのかな？
Gareth Loy (著)
# ISBN-13: 978-0262122825
# 発売日： 2006/6/23
# 商品の寸法: 23 x 18.2 x 3 cm
ドヴォルザークと発音できるのかいまいちつかめない
r と書いてルザと読むのだろうか？
フジリアン
ふじりんご
「r」の上に〈ハーチェク〉という記号が付いて、それで「ルジュ」に近い発音をする。
ギネス認定の、世界一難しい発音。
コンパクトディスクのサンプリング周波数 44100 Hz を素因数分解してみよう。
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猫
でも演奏しにくくね？
人が真ん中に入って周囲を鍵盤が取り囲む
演奏してて目が回りそう
Ring Pipe Organ
http://www.youtube.com/watch?v=PB9SDkKe6_0&sns=em
１７音階というのはあるらしい
そもそも、１２音階というのも
ド-ソ-レ…と５度ずつ上げて行き適当なところでオクターブ下げると、だいたい同じ音に戻ってきたのが発端
つまり531441と524288を等しいとみなしている
その数字はどういう意味かい？
3^12と2^19
>そもそも、１２音階というのも
>ド-ソ-レ…と５度ずつ上げて行き適当なところでオクターブ下げると、だいたい同じ音に戻ってきたのが発端
厳密にはちょっと違うような
純正律は３のn乗倍音だけを扱ってるわけじゃなくて、５倍音とかも使ってる。
３だけで構成するのはピタゴラス音律だな
５も考慮した純正律
逆に、４：５の比率を重視したのがミーントーン
ミーントーンとピタゴラスの中庸を取ったウェルテンペラメント
そして、平均律と進化してきた
？？？
１７４
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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半分しか表示しないようにしていたので
存在していた比の値を見過ごしてしまった
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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いいのでは？今の音楽に認められる法則を考察するのも面白いけど、後付感が拭えなくて演繹的じゃ
ない気がする。
どんな理由でこのコード進行だと終結感がでるのか分かる人いる？
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導音や半音上行進行などを理由にあげることもできるが、
結局は経験からそう感じるようになった（学習した）ものだと言える。
伝統的な西洋音楽以外では終止に関するパターンやルールが異なるものも多い。
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別に
TDT でも良い
ちなみに S はサブドミナント
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>>69 によるとそれも学習したもので、
育った環境によっては D→S が良い音と感じて
TDT がいやな音と感じたりするのかな？
S→Dは系統の違う音楽では普通に使われる。
いやな音の範疇かどうかは微妙かもしれないが
アーメン終止（S→T）が心地良い人はD→Tは仰々しすぎると
感じる人がいるという話は聞いたことがある。
いずれも聴いている（聴いてきた）音の環境の差
つまり学習によるものだと思う。
そもそもオクターブに１２音しかないのも
和音がⅠからⅦまでなのも、おそらくは環境のせい。
× S→Dは系統の違う音楽では普通に使われる。
○ D→Sは系統の違う音楽では普通に使われる。
解決感は ＳＤ ＜ ＴＤＴ で共通だけど、解決感が過剰過ぎて仰々しく感じる、と言えないかな？
IIb→I と V→I のどちらが終止感が強いかなんてのとはまた別の話かな
それは、なぜ？
周波数比がを単純な整数比で表すことができる音程を協和
整数が大きくなると不協和（その境界は曖昧だとしても）というなら
協和・不協和は人類共通。
「協和≒気持ちいい響き」というような定義なら、環境や経験によって変わる。
V7以外の４和音は古典的西洋音楽では通常不協和音としてしか用いられないが
他の系統の音楽では、I7やIV７なども安定した和音として積極的に用いる。
I7 や IV7 もどちらかと言うと協和感の良いほうの和音ではないでしょうか？
もっと生理的に受け付けにくい不協和もあると思うのですが
と感じるのは経験じゃないかな？
そもそも和声の響きを感じるというのからして経験くさい。
生理的に受け付け難い不協和ってなんだろう？
逆に、V7 が不安定で禁止されている音楽、というのもある？
V7 は一般的で普遍的なコードとは言えない？
慣れてくれば親しみを感じるから、だんだん心地よくなっていく、＜
はあっても、心地よい音がだんだん不快になっていく ＞ というのは少ないような気がするが
禁止するということは、その存在を意識しているということなので。
西洋音楽以外の音楽は、あまりきちんと理論付けや体系付けされていないことと
具体的な不協和音の存在を意識するくらいに高度に発展する段階では、禁止はされにくいという理由。
つまり、音楽には積極的な禁じ手がある事のほうが珍しいということ。
消極的な禁じ手としてなら、以下のようなものがある。
たとえば、２和音までしかない音楽がある。 ４和音は世界の外なので使われることはない。
そもそも和声という考え方のない音楽もある。 複数の旋律が重なったところで、
たまたまV7の音になることがあるかもしれないが、そのような意識では捉えられていない。
でも、ジャンジャンジャンジャーン↓だと終結感がして
最後の音が外れると続きがあるように確かに感じる。
これも学習の結果なのかちょっと信じがたい。
それで、イントネーションに関してはどうですか？
日本語で
そうなの？↑、と、そうなの。↓、だと、後者に終結感がある
英語でも
understand?↑、だと、分かったあ？、で疑問形で、
understand!↓、だと、うん分かった。、で終結感がある
この語尾の上げ下げが人類共通の音楽的萌芽といえない？
下がると終止感というの相反するがどうか？
「そうなの？↑」という疑問型は英語などからの学習では？
古来の疑問形、「如何か」 は下がるよ。
言語は確かに日本語と英語だと影響しあってるかも。
もっと民族言語とかサンプルが必要だけど、
ぜんぜん知らないので何か言うのは難しいか…
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