0.000・・・・・・の不思議

1 ：2010/09/15 〜 最終レス ：2013/06/09

例えば分数の 1/3　は無限小数で　0.3333・・・　と表します。
また、0.333(途中省略５０桁)333　も　0.3333・・・　と表すことも有ります。
しかし、0/1 = 0.000・・・　とは書きません。
また、　Σ(n=1,∞){0/10^n} = 0.000・・・　とも書きません。
更に、　Lim(n=1,∞){1/10^n} = 0.000・・・ とも書かなく、
　　　　Lim(n=1,m){1/10^n} = 0.000・・・ m<∞　とも書きません。
0.9999・・・＝１＝１ + 0.0000・・・・　この 0.0000・・・は一体何ですか？

2 ：

０です。

3 ：

終わり。

4 ：

＞また、0.333(途中省略５０桁)333　も　0.3333・・・　と表すことも有ります。
仮にそう表せるとしたら、無論0.333(100桁略)333　も　0.3333……　と表せるのだろう。
それでは、0.333(30桁略)333　は　0.3333……　と表せるのか？
0.333(10桁略)333はどうだ？0.333は？0.3は？
仮に0.3333……と表せるものと表せないものに明確な線引きがあるとして、その根拠は何だ？

5 ：

・・・をちゃんと数学的に定義してから議論すれば混乱しない。
>>1は・・・の色々な定義を勝手にゴチャ混ぜにしてるから勝手に混乱してる。

6 ：

>>1は>>2を繰り返し読め

7 ：

0.333・・・は、３の数字だけが無限に続くので分かりやすいね。
　０が目障りだったら、3.3333・・・・でいいや。
小数点以下何処まで行ってもオール３です。
しかし、0.000・・・　オール０とは意味が違うね。
オール０だったら、　0.000・・・＝Σ(n=1,∞){0/10^n}　でＯＫです。
0.333=Σ(n=1,3){3/10^n} に習えば、　0.000=Σ(n=1,3){0/10^n} だよ。
これでいいの？　明らかに変でしょうに。

8 ：

wikipediaに答えがのってたよ！
二項演算 ? をもつマグマ M において、M の任意の元 x に対し x ? z = z ? x = z を満たす M の元 z。

9 ：

>>7
　　　　　式としては可笑しいとは言えないね
3.333=3+Σ(n=1,3){3/10^n} 　もちろん普通の式です
0.000=0+Σ(n=1,3){0/10^n} 立派に等号が成り立つ式です。しかし、
3.333・・・＝3+Σ(n=1,∞){3/10^n}　　　であっても、
0.000・・・＝0+Σ(n=1,∞){0/10^n}　　ではない

10 ：

a

11 ：

>>9
3.333・・・＝3+Σ(n=1,∞){3/10^n}　　であっても、
0.000・・・＝0+Σ(n=1,∞){0/10^n}　　ではない、不思議ですね。??

12 ：

0.000・・・＝0+Σ(n=1,∞){0/10^n}でいいんだよ

13 ：

＞しかし、0.000・・・　オール０とは意味が違うね。
なんで？

14 ：

>>12
0.1
0.01
・
・
0.00000000(省略)0001
・
↓
∞
0.000・・・・・ と前からの経緯の上から書くね。
この場合は　0.000・・・＝0+Σ(n=1,∞){0/10^n}　　ではないよ。
0.000・・・＝0+Lim(n=1,∞){1/10^n} だね。　どう説明するの？
>>13　　オール０でなく、無限小に１がなければならないでしょう。

15 ：

まずは数学の言葉に翻訳してくれ。
数学の言葉にする気がないなら数学板は板違いだ。

16 ：

>>14 ここにも無限小野郎がいるのか？

17 ：

＞オール０でなく、無限小に１がなければならないでしょう。
なんで？

18 ：

>>14
Lim(n=1,∞){1/10^n} ＝ 0 だから
0.000・・・＝0+Lim(n=1,∞){1/10^n} ＝ 0 + 0 ＝ 0
0.000・・・＝0+Σ(n=1,∞){0/10^n} ＝ 0 + 0 ＝ 0
となって、両方とも0

19 ：

＞オール０でなく、無限小に１がなければならないでしょう。
その「1」は具体的に何桁目に入ってるの？
少なくとも有限桁目は全部0でしょ。

20 ：

>>18 だから不思議だろう？　他の数字では一つだけだ。
3.333・・・≠3+Lim(n=1,∞){3/10^n} ＝ 3 + 0 ＝ 3
3.333・・・＝3+Σ(n=1,∞){3/10^n} ＝ 3 + 0.3333・・・
9.999・・・≠9+Lim(n=1,∞){9/10^n} ＝ 9 + 0 ＝ 9
9.999・・・＝9+Σ(n=1,∞){9/10^n} ＝ 9 + 0.999・・・

21 ：

>>19
＞　少なくとも有限桁目は全部0でしょ。
有限桁に限定しなければならないことをここでは問題にしている。
3.333・・・　等はそんな条件はなくオール３！
それともこの場合も　「少なくとも有限桁目は全部３でしょ」　として
それ以外の桁（無限小桁）では「３」が何かに化けてもいいの、数学では。

22 ：

>>>20 >>>21
化けると言えば、9.999・・・も　0.000・・・・　に劣らず不思議です。
9.999・・・＝9+Σ(n=1,∞){9/10^n} ＝ 9 + 0.999・・・ ＝１０　　と
１０　に化けるんだからね。

23 ：

>>19　の論理で書けば、
9.999・・・は少なくとも有限桁目は全部９だから１０にはならないはず。

24 ：

>>1 >>20
何か極限の表示の仕方がおかしくないか？
何で数列みたいに[n=1,∞]なんて設定値の表示の仕方なんだ？
0.999…=1−lim[n→∞](0.1^n)=1−0=1

25 ：

>>24
確かにそうでしたね。m(_ _)m
Lim(n=1,∞) の部分は　lim(n→∞) と先の投稿内容を訂正します。
２ｃｈの決まりが分からないんだ、未だ。　　
Lim は　lim　、　（ ）は　[ ] でしたか。

26 ：

>>23
有限桁目は全部9だけど10になるよ。
＞>>18 だから不思議だろう？　他の数字では一つだけだ。
あなたの論理だと、他の数字でも1つにならない。たとえば
3.31
3.331
3.3331
：
：
と、敢えて末尾に1を付けながら3の個数を増やしたとき、
それはやはり「3.333…」と書かれるが、あなたの論理だと、
こうして得られた「3.333…」は無限小とやらに1があって
3.333… ≠ 3+Σ(n=1,∞){3/10^n} となる。

27 ：

>>21
＞それ以外の桁（無限小桁）では「３」が何かに化けてもいいの、数学では。
数学では「無限小桁」なんて存在しないから、化けようがない。

28 ：

>>26
　　　　なるほど

3.333・・・＝3+Σ[n=1,∞](3/10^n) + lim[n→∞](1/10^m)　　　
0.000・・・＝0+Σ[n=1,∞](0/10^n) + lim[n→∞](1/10^m)　　は、
3.333・・・＝3+Σ[n=1,∞](3/10^n)　
0.000・・・＝0+Σ[n=1,∞](0/10^n)　　　　　　　と変らない事ですね。
要するに、０も他の数字の場合と同じで、0.000・・・は特に不思議でない。

29 ：

0.000・・・・　も　3.333・・・　も全部不思議でした。
　　　　　　　　　　　　ＴＨＥ　ＥＮＤ

30 ：

不思議も糞も，無限に続くんだから
無限小桁なんて考えられない，
無限の極限にすると消えちまうんだよ

31 ：

あたりまえだと思うより不思議だと思う方が幸せなこともあるよ

32 ：

>>25
>>24補足
�納n=1,∞](9*0.1^n)
を詳述すると
lim[m→∞]{�納n=1,m](9*0.1^n)}
∴ 0.999…=�納n=1,∞](9*0.1^n)=lim[m→∞]{�納n=1,m](9*0.1^n)}=1

33 ：

>>32
0.9
0.99
0.999
・
・
m　　 �納n=1,m](9*0.1^n)
・
・
0.999・・・　　　　　 ＜１!!　？？？？？？？
↓
１＝lim[m→∞]{�納n=1,m](9*0.1^n)
∴ 0.999…<�納n=1,∞](9*0.1^n)=lim[m→∞]{�納n=1,m](9*0.1^n)}=1

34 ：

OR >>32
0.9
0.99
0.999
・
・
m　　 �納n=1,m](9*0.1^n)
・
・
↓
0.999…=�納n=1,∞](9*0.1^n)
∴ �納n=1,∞](9*0.1^n) < lim[m→∞]{�納n=1,m](9*0.1^n)}=1 ???

35 ：

>>33
0.9　　　 ＜0.999…
0.99　　　＜0.999…
0.999　　＜0.999…
：
：
0.999… ＜0.999…

36 ：

>>35
0.9　　　 ＜0.999…
0.99　　　＜0.999…
0.999　 　＜0.999…
：
0.999…　 ＜0.999…
：
↓∞　　　　↓
0.999… ＜0.999…
∴　0.999… ＜0.999… 　　　？？？？

37 ：

Corr. >>36
0.9　　　 ＜0.999…
0.99　　　＜0.999…
0.999　 　＜0.999…
：
0.999…9 ＜0.999…
：
↓∞　　　　↓
0.999… 　＜0.999…
∴　0.999… ＜0.999… 　　!!!

38 ：

>>1
0.1 + 0.9 = 1
0.01 + 0.99 = 1
0.001 + +0.999 = 1
:
:
0.00..01 + 0.999..9 = 1
:
↓
∞
0.000... + 0.999... = 1
∴　0.999... = 1 - 0.000... = 1 - 0 = 1

39 ：

>>37
そんなわけねーだろ。勝手に
↓∞
0.999… 　＜0.999…
なんてするな。

40 ：

f(x)=x
lim_[x→1]{f(x)}＝1
片側極限の定義から1＝lim[x→1]{f(x)}＝lim[x→1+0]{x}＝1.000……
また1＝lim[x→1]{f(x)}＝lim[x→1-0]{x}＝0.999……

∴0.999……＝1＝1.000……

41 ：

>>39
だから、その理論が間違っているという指摘だろ。

42 ：

>>41
おおそうか、それはすまん。

43 ：

また辞書式順序観念信者かよ

44 ：

このスレって、昔あった1=0.9999･･･の後継ってことでおk?

45 ：

ログが復活するか否か解答がでて出てから｡
するなら復活ログを継続使用、しないなら正式継続スレ設立
常考

46 ：

>>33-34
そういう「数学的帰納法」を超えた「数学的帰納法の極限」が一般に通用するなら
>>35氏が示した様な理非が罷り通る事になる

47 ：

> 0.9　　　 ＜0.999…
> 0.99　　　＜0.999…
> 0.999　 　＜0.999…
> ：
> 0.999…　 ＜0.999…
> ：
> ↓∞　　　　↓
> 0.999… ＜0.999…
最後のところが違うんだなぁ。
↓∞
0.999… ＝ 0.999…
これが正解。極限の意味が全然わかってないね。

48 ：

漸近解析を勉強してね

49 ：

>>47-48
分かってないのはお前。

50 ：

数学的帰納法は有限でしか扱えないのに無限でも適用しようとするのｲｸﾅｲ

51 ：

>>49
どこがどう分かってないのか、指摘出来ますか？

52 ：

> 0/1 = 0.000・・・　とは書きません。
何が言いたいんだ・・・

53 ：

>>49
何じゃ、此のスレは17.999…スレの「辞書式順序」観念唯信亡者の御主が立てたんか

54 ：

0.の後に9をn個並べた小数をa(n)としたとき、
無限数列{a(n)}の項としてlim_{n→∞}a(n)は含まれないことを
納得できない人には、永遠に理解できない、というわけですね。

55 ：

>>54 は核心を突いてますね。

56 ：

素直に1=0.999…スレを復活させたほうがいんじゃない?

57 ：

と言うか。990スレまで溜まってた、もうトウに
スレ立ての時期になっとったから新設しても良いのう
1=0.999… その17.999…
http://logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/math/1257843442/

58 ：

> 無限数列{a(n)}の項としてlim_{n→∞}a(n)
は含む含まれないに関わらず「“全て”の有限項の総和」の時点で0.999…であり
そもそも無限数列の和は数列の収束値（＝０）により左右されない、にも関わらず
> 0.の後に9をn個並べた小数をa(n)としたとき､
> 無限数列{a(n)}の項としてlim_{n→∞}a(n)は含まれないことを
> 納得できない人には、永遠に理解できない、というわけですね｡
という、わざわざ要らん書き込みをしている｡
∴ >>54辞書式順序観念唯信亡者
また
> >>54 は核心を突いてますね｡
∴ >>54-55は二者同一

59 ：

lim_{n→∞}a(n)は単に、減衰する数列の和の収束判定に過ぎんじゃろ

60 ：

そんな蛇足つけなくたって誰が見ても>>1だろ

61 ：

>>57
スレ立てするなら、>>35あたりも整理してテンプレに載せてほしいもんじゃのう。

62 ：

立ってしもた

63 ：

1=0.999… その18.999…
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1285245255/

64 ：

>>1
> また、0.333(途中省略５０桁)333　も　0.3333・・・　と表すことも有ります。
ねーよ
0.333(途中省略５０桁)333 ＝ 0.333…333 (小数点以下3が56個)
とかだろｊｋ

65 ：

「0.999… = 1」の会話が珍しく　超…高いので
スレ違いだが、こちらに書き込ませていただきます。
───────────────────────────
熱血教師Xが「0.999… = 1」であることを A子に教えた。
なお、
文系 こまったちゃん ─── A子
理系 こまったちゃん ─── B男
である。
A子「切り上げるときは、0.9を足して切り捨てるんです」
B男「そうだよ 0.1を切り上げると 0.1+0.9 = 1 だ。」
A子「でも 0.00001 を切り上げると ZEROになるわ。
0.00001 に 0.9を足すと 0.90001 切り捨てると ZERO」
B男「0.9999999999999 『9が無限に有る数字』を足してから、切り捨ろ。
『どんな数』でも『正確』に切り上げられる」
A子「0.999で9が無限にある数字は1です。
0を切り上げたら1 になり変です」
B男「無限は状態だ。無限は有り得ない。0.99995を足せばいいんだよ。」
「ていうか、0.999… は1ではない。熱血教師Xは頭が悪い。」
・・・

66 ：

スレ主は、単発スレ立て逃げ乙 かつ解決したようだが
以降1000まで、無駄に残った暇なお前らは どうネタを続けるつもりかね？

67 ：

今なら「取捨選択」のみで削減可能

68 ：

削除依頼出しておけよ

69 ：

(x - x)x = x^2 - x^2 = 0
(x - x)(x + x) = x^2 - x^2 = 0
したがって、
(x - x)x = (x - x)(x + x)
両辺を x - x で割ると次のようになる。
x = x + x
そして、両辺を x で割ると、次のようになる。
1 = 2
Q.E.D.

70 ：

>>69
中学生かっ

71 ：

>>69
どこが間違ってるのか気づくのに１分かかったorz
0で割っていたとは

72 ：

猫に小判、まで読んだ。

73 ：

ワシはこのスレも好かん。
猫

74 ：

猫が寝転んだ。

75 ：

>>69
ねえそろそろ０で割る以外のパラドックスを見つけてよ。

76 ：

極限操作を伴うと完備性とかが効いてくるから
厳密にしようとすると実数の公理がいるから高校数学だと無理じゃない？

77 ：

>>69
１＝２ｗｗｗｗｗｗｗｗ

78 ：

>>77
お前何歳なの

79 ：

>>79
よく見ろ！もろくそじゃないかっ！

80 ：

>>79は誤爆
>>78だった

81 ：

お前が良く見ろ

82 ：

>>81
ごめんなさい

83 ：

>>83
わかればよろしい

84 ：

>>83
分かればよろしい

85 ：

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
猫

86 ：

1=0.999…　はどこいった？

87 ：

1は3で割り切れる

88 ：

割り切れる・割り切れない・余りという概念は、整数を扱うときのみ使用できる。
１は３できっちり割れるが、１は３で割り切れない。

89 ：

１÷３＝１／３＝0.333333333333333333333333333333...
１＝（１／３）×３＝0.333333333333333333333333333333...×３
　　　　　　　　　　＝0.999999999999999999999999999999...
∴１＝0.999999999999999999999999999999...

90 ：

0.999･･･ = 1 って勝手にイコールで丸めるなよ。
極限はあくまでも限りなく近づく、近い値だぞ。

91 ：

>>90　全くのでたらめ
0.9999...と1は厳密に同じ値
同じ値に、複数の表現方法があるだけ
表記法が原因で、違う値に見えてしまうだけ
たったこれだけの話

92 ：

>>90
「限りなく近づく値」なんてものは存在しません
そして限りなく近い値は＝です

93 ：

1は3等分できるんだからいいじゃん

94 ：

>>90
丸め込んで0.999…=1としてるのではなくて、
厳密な議論の結果、丸め込んでいるように見える等式0.999…=1が正しかった（0.999…が１と『全く同じ』だと分かった）ということ。
まぁ幾つも出ている正しい証明を見ても納得できないのなら何を言っても無駄なのかもしれんが。

95 ：

>>94
極限は全く同じではなく　限りなく近づく、近い値　ですが？
反論が全く反論になっていない低レベルなスレだなｗ
お前ら小学校からやり直せ。

96 ：

とりあえず俺から課題を出しておく。
0.999・・・ = 1 と主張する人は
1/0.999・・・ = 1 と言うことになるが、間違いないか？
イコールで結びつける以上、その他にも影響するような解釈では
辻褄が合いませんよ。

97 ：

>>95
「限りなく近づく値」なんてものは存在しません
そして限りなく近い値は＝です

98 ：

限りなく近づく「時」、
値など定まってなんかいませんよ。

99 ：

1 = 0.999・・・を説明するのに極限を用いた場合は、あくまでも
0.999・・・が限りなく1に近い値であることを前提条件として説明すべき。
等式としては不適切。

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