ちょっと深く考えて自分の頭でスーッと展開できるようになると、すごく
早く処理できるようになる。その回路をつくるようになるまでは大変」
「数学はずっと考えてるとある時バチッと全部わかる瞬間が来る」
というのを本で読みました。
これを数学的センスと定義付けた時、どういう問題や分野を勉強すれば
数学的センスは身につくのでしょうか。
それこそ高校の因数分解や微分積分でもいいのか、
メチャクチャ難しい数式を解くのか。
目の肥えた皆さん、漠然とした質問かもしれませんが、お教え下さい。
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でも、>>1で言ってるのも同じ事みたいだから問題ないな
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問題集たくさんやれば、ある程度、「数学のコツ」はつかめるってことですか？
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やり方による
解答の考え方を理解するようにすれば出来るだろう
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紙もペンも使わずに、頭の中だけでずーっと。
脳みその筋トレというか。ストレッチというか。
「思考の可動領域」が変わってくる。
例えばどんな問題ですか？
ネット上のソースでもよいのでお教え願えないでしょうか？
一度そういう感覚を味わってみたいです！
これでなんで二項展開の係数が出るのか。
イメージでわかるまで考える。
a[1]=a、a[n+1]=pa[n]+qの漸化式。
特性方程式の解をcとして、何でa[n]=p(a-c)^(n-1)+cとなるのか。
機械的な計算でなく、イメージでわかるまで考える。
これだと問題ってより、「素朴な疑問」て言うほうがあってるか。
気になる、気にならないは人それぞれだと思う。
ある時ふと疑問に思った、ってのが、その時の自分にぴったりの問題な気がする。
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ありがとうございます
そんな感じ議題をもっとお願いします！
→自分の中に照らし合わせるものがない
→言われてもピンとこない。「そういうものか」で終わる。
→何もやらない
まず自分で決めて、何かやってみよう。
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その際、単に個々の定理や公式を覚えるのではなく、それが理論全体の中でどういう役割を演ずるのか・どう応用されるのかに注目し、知識が有機的に結びつくようにすべき。
そのためには、概念の定義を正確に記憶し、それに基づいて自力で定理の証明ができることが望ましい（勿論難しいものもあるから、最初から完璧にする必要はない）。
また、単にテキストの記述を暗記するのではなく、概念の核となるイメージをつかむことで、細部の技術を忘れても思い出せるようにすることが重要である。
そのためには
・定理や定義が何を意味しているのか（図形的イメージ、収束の強さ・速さ、対称性、不変性、…etc）を考える
・定理や定義が既知の概念の一般化である場合、なんの一般化なのかを考える
・定理や定義の同値な言い換えを考えてみる
・定義の条件を満たす例と、満たさない例ををあげる
・定理を具体例にあてはめてみる
・定理は逆も成り立つか、仮定を一部削って反例を構成できるかなどを検証する
といったことを考えるといい。
不明な点・非自明だと思う点があれば、演習問題でなくても自分で証明・検証する。
本によって定義や定理の述べ方や証明の仕方が違う場合、その違いがどう影響するのかを観察する。
一通り理解したら、演習問題を解くことになる。
問題を解く際にはまず、何を問われているのかをよく理解する。続いて、似た問題を解いたことが無いかを確認する。経験があれば同じ方法を適応してみる。
それで解けなかった場合、未知の問題の場合は、具体的な例に当てはめたり、特殊値を計算をしたりして、結果を予測し検証する。
中級レベルの問題ならば、簡単な実験により問題のイメージはつかめ、何を示せばよいかが見えてくるはず。
問題が解けたらまず、解答に誤りがないかを確認する。（物理量の計算であれば次元が一致しているか、確率であれば全体の確率が1になっているか等）このようなチェックは常に行う。
次に、問題が一般化できるかを確認する。一般化した場合にも同じ解法が通用するか、通用しないならなぜ通用しないのかを考える。
一口に一般化といっても何に着目し一般化するかで変わる。そこにはセンスが問われ、個性が現れる。
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ttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/sem.htm
「慣れ」と言った方が良い
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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「土方は差別用語だから、この歌は放送禁止」ということだが、
土方を放送禁止にさせたのは、富豪や政治家、新興宗教や暴力団の傘下にある人権団体だった
むしろ「ヤクザな道は踏まずに済んだ」の部分こそ、彼らにとっての放送禁止な部分。
「ヤクザな道」を通って暴利を貪って来たのは、他でもない、彼ら自身だからだ。
その「ヤクザ」が「土方」にイチャモン付けて、「放送を通した歌の頒布を禁止」させた。
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・何が重要なのか？
・なぜそれが重要なのか？
・いかに一般化されるべきか？
・その為にはどのような手段を講じるか？
を常に考える
例えば√2が有理数でないことを証明することもそれに入る？
意味不明
何するにせよ常に考えろと言っているのであって、どの問題がどの項目に該当するとかじゃないのだが
これはどう考えるんですか？
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ある問題があった時、論理の飛躍（＝パパッと計算して終わりみたいなこと）をせず、
キチッと論理的に詰めて行けってことですかね
どこをどう読んだらそうなる？
> 任意の実数x,yに対して不等式x+y≦k√(x^2+y^2)の成り立つ最小のkを求めよ。
まず、x+y≧0の場合のみ考えればよい。（この程度の不等式なら、その表す領域が瞬時に頭に出てこなければいけない）
x,yがともに負でなければ√(x^2+y^2)>0なので、両辺を√(x^2+y^2)で割って、(x+y)/√(x^2+y^2)≦kとなる最小のkを考える。
つまり、f(x,y)=(x+y)/√(x^2+y^2)の最大値を求めることに帰着される。（これは、fがどんな形の関数になろうと同じことだが、常にこの解法が有効かどうかは分からない。）
特にこの問題に限っていえば、x/√(x^2+y^2)=cosθ, y/√(x^2+y^2)=sinθとおけば三角関数の合成を使って簡単に解ける。
そうしなくても、根号を解消するために両辺を二乗する（同値性に注意）とか、分子分母が同次式だからy/x=tなどとおけば一変数になるとかいうのは基本定石だから使いこなせなくてはいけない。
暗記数学だの思考数学だのいうのは下らない。問題の意味考えずに解法当てはめに専念するのはナンセンスだし、知識が多いに越したことないのも事実。
この問題では、xとyは対称だから、x=yの点で最大最小を取るだろうとか目星がつけられるが、√x+√y≦k√(2x+y)にしたらどうか？とか、「解けたからいい」ではなく常に類題や一般化を考える。
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このとき、任意の有理数c,d(cd≠0)に対して、有理数e,fが存在して
1/(cα+d)=eα+fと書けることを示せ
という問題はどのように考えますか？
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a[n]=(n+1)∫[0,1]x^n cosπxdx
で定める。lim[n→∞]a[n]を求めよ。
という問題は、どう考えますか？
２０代の、ニートの、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
R！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
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数学的センスが身につくのだろうか。
センスの有る人の書き写しをすれば、真似ているうちに・・・というのはありそうだが
狢
書き写すたびに間違いが重なっても気にしないような雑な作業でなく、
間違いで意味が通らなくならないよう考えながらなら身につくかも知れん
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どう見ても発散だろ馬鹿か
という問題はどう考えるのでしょうか？
|a_n+1|=|1+(n+1)∫[0,1]x^n cos(πx)dx|
=|-π∫[0,1]x^(n+1) sin(πx)dx|
≦π∫[0,1]|x^(n+1) sin(πx)|dx
≦π∫[0,1]x^(n+1)dx
=π/(n+1) → 0 (n→∞)
∴ a_n → -1 (n→∞)
数学的センスを身につけるのは無理
f[m]≡f[n] (mod p)となるのはいつか？ (p: 素数)
という問題はどう考えますか？
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自然数x,yに対して、ax+byの形で表せない自然数の個数を求めよ
という問題はどう考えますか？
自然数が0から始まる流儀と1から始まる流儀とで共通して使える解法はありますか？
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という問題はどう考えますか？
反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人
構図は全て同じです
http://mamorenihon.files.wordpress.com/2011/10/zainichi_seijinshiki_1.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-1_jEcAWVs1s/Tm4X2mLBhhI/AAAAAAAABok/MObw2nzMyoI/s1600/IMG_9062-714071.jpg
http://wave.ap.teacup.com/renaissancejapan/timg/middle_1228711905.jpg
ソント(声闘)・・朝鮮人は、声が大きければ音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから、朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント
在日(もちろんテレビや新聞は通名で報道)が凶悪犯罪を起こしたとき、人権派()弁護士が異様に沢山付くのも
弁護士が多ければ=声が大きければ、無罪になると思い込んでいるから。
・未知の問題も落ち着いて対処できること。その際、問題に対して取るべき戦略を自分の中で作っておく。
・未知の問題を減らせるように普段の学習で心がけること。ただ解くのではなく、類題や一般化を考える。
数学的思考、センスの定義を述べよ
考えない
これはどのように解きますか？
それも含めて聞いてるに決まってるだろ
したがってZ[√2]の単元が無限に存在することを示せばよい
どういうこと？
>>1のような現象を引き起こす方法じゃないの
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したがって、(3+2√2)^2=17+12√2もZ[√2]の単数
こうして、(3+2√2)^n=a[n]+b[n]√2で得られる(x,y)=(a[n],b[n])はすべて、x^2-2y^2=1の解であることが分かる
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オレには具体的な経験を通じて「量や空間をどれだけ体感できたか」だがな
そこから抽象がリアルに感じられるようになる
例をたくさん知ってる奴は強いというだろ
(兄貴に誘われて色んな遊びをしたからなー)
この問題では、実は「りんご」は重要ではありません。たとえば、「りんご」を「みかん」や「ぶどう」に替えても、この問題は5+2=7を表しているのです。（「水」とかは数えられないけど）
これが、抽象ということです。この問題で大切なのは、「5」や「2」といった数であって、「りんご」とか「太郎さん」ではありません。
このことが分かるようになるのは、だいたい４歳くらいだと思います。それより前にいくら「1+1=2」などという呪文をとなえたところで、子供には理解できないのです。
つまり、「1+2=3」「2+4=6」といった呪文をいくら覚えさせたところで、違う呪文「4+5=？」は計算できず、また「みかんが4つ、ぶどうが5つ。合わせていくつ？」という問題も解けないのです。
また、「5+2=7」が計算できたら、次は何を教えるべきでしょうか？いろいろな課題があるとおもいます。
まず、太郎さんと次郎さんのりんごを交換してみる。すると、「2+5=7」で、全体の数は変わりません。これが足し算の交換法則です。
次に、たとえばりんごを3つもった三郎さんを加えてみる。このとき、２通りの計算「(5+2)+3」「5+(2+3)」ができますが、どちらも答えは同じです。これが足し算の結合法則です。
りんごの数を２けたにしても、ちょっと面倒くさいが計算できるか？たとえば「58+42」は、上の事実を応用して、「(50+8)+(40+2)=(50+40)+(8+2)=90+10=100」とすれば、簡単に計算できます。
りんごを使って、さらに小学生向けの問題を考えてみましょう。
太郎さんはりんごを5つ、次郎さんはりんごを2つ持っています。さて、どちらがより多くのりんごを持っているでしょうか？
当然、太郎さんです。では、太郎さんから次郎さんへ、りんごを１つずつ渡していきます。いくつりんごを渡すと、次郎さんのりんごは、太郎さんのりんごよりも多くなるでしょうか？
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諦めがまた次の道を探せるきっかけになる
真理
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帽子を忘れる確率は、1-(1-p)^3=p(3-3p+p^2)
Bの家に帽子を忘れる確率は、(1-p)p
したがって、求める確率は、(1-p)/(3-3p+p^2)
3Dゲームを作ってみるとかね
広告代理店やテレビ局の自作自演です。
反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人
構図は全て同じです
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ソント(声闘)・・朝鮮人は、声や音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント
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