高校数学の質問スレPART346

1 ：2013/01/22 〜 最終レス ：2013/02/03

前スレ
高校数学の質問スレPART345
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1356018339/
【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

2 ：

主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

3 ：

基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算)　　　　　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算)
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算) 　　　　a/b　→　a 割る b　　 　（割り算)
■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
　a[n] or a_(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 3 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a_(k)　　 　 → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．�唐ﾍ高校では使わない）
　∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
　∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑
　ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
　（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
　（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
　（行（または列ごと）に表示する．　例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
　P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk

4 ：

　テメ〜、いいかげんにしねえと、ブッRぞ！
　６０代の、無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
　R！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

5 ：

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6 ：

たまに大問１つまるまる確率の漸化式とか期待値の問題ってあるじゃん
ああいうの出されると何からはじめればいいかわかんなくなるんだけど
なんかフローチャートとかコツとかありますか？

7 ：

文節一つ一つを順番に漫画化する
未知数が出てきたら適当に文字を当てまくりながら進む
書き終えたら関係式を立てられそうなところは立ててみる
あとはパズル

8 ：

>>4-5
他にすることない人生なの？

9 ：

ODの求め方が分かりません

10 ：

余弦定理

11 ：

?

12 ：

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13 ：

前スレ961さま
丁寧なレスどうもありがとうございます。初等幾何で十分に分かりやすいです。
この問題で、座標とかベクトルで解こうとするのはセンスなさすぎということでしょうかね。。。

14 ：

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15 ：

>>13
座標は軌跡求めたり直線や円、点を求めたりするにはいいけどあの手の証明にはまるきり使えないと思っていい
途中でちょっと交点の座標とか直線の式求めるだけでめちゃくちゃ煩雑になること多い
ベクトルはまだ使い道は広いかな
平面幾何(+三角比)という方法は原始的だがなかなか使える

16 ：

極値を持つ三次関数f(x)について、極大値をとるxの値をα、極小をとるxの値をβとしたとき、
変曲点(α＋β)/2に対して点対称なグラフになっているため、極大と同じ値をとるx座標は、βにβー(α＋β)/2を足した（3/2）β-α/2であると教わりました
しかしなぜ点対称だったら、変曲点から極小までの距離と、極小から「極大と同じy座標をとるx座標」までの距離が等しいのかがいまいち理解できません
よろしくお願いします

17 ：

>>16
『点対称
⇒変曲点から極小までの距離と、極小から「極大と同じy座標をとるx座標」までの距離が等しい』
はあなたの指摘通りおかしい。一般には成り立たない
だが詭弁とはいえ三次関数においては
f(α)=f(γ),α≠γであるγ=（3/2）β-α/2を
覚えやすい方便ではある
そういう教え方をする教師であると割りきって
さっさと勉強を進めるのがお互いにとって吉だと思う

18 ：

I(s)=1/(Rs+Ls^2+1/c)
振動系になると思うのですが、どやって逆ラプラス変換すればいいのでしょうか？

19 ：

ありがとうございます
ではなぜf(α)=f(γ),α≠γであるγ=（3/2）β-α/2が成り立つのかについて考えたのですが、代入して計算する以外に証明法はありませんか？

20 ：

f(x)=x^3-3x で確かめるだけで良い

21 ：

「x=aで極値」という条件を「f'(a)=0」として使うとき吟味が必要。
と教材に書いているのですが何故必要なのか教えてください

22 ：

山の頂上は平らであるが
連峰の頂上がひとつであるとは限らない

23 ：

>>22
スッキリしました
ありがとうございます

24 ：

逆の場合ならば、
y = x^3 は、 f'(a)=0 (a=0) はあるが、極値はない
一般的には
> f'(a)=0　ならば　x=aで極値
とは限らない

25 ：

>>23が>>22で理解できたとはとても思えない

26 ：

>>21
関数f(x)=|x|　はx=0で極小値をとる。
しかし、x=0では微分可能でないから　f'(0)は意味がない。

27 ：

どのように考えたらこのような図になるのてしょうか？
http://www.imgur.com/OmF8tNG.jpeg

28 ：

y≧0の場合とy＜0の場合に分けて考える。

29 ：

>>28
なるほど！
さんくすです

30 ：

∫(0 π) sinx dx
=π
計算過程がわかりまへん

31 ：

そりゃわからんわな

32 ：

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33 ：

>>30
どーしてこーなった

34 ：

sin(x+π/4)は偶関数なのか奇関数なのか分かりません
奇関数？

35 ：

>>34
どっちでもない

36 ：

そんなぁ

37 ：

http://beebee2see.appspot.com/i/azuY9PPcBww.jpg
(2)で何でそうなるのか分かりません。
(1,2)の像Aがl:x+2y=5？？？

38 ：

ちゃんと読め
(1, 2)の像Aが、直線L の上にある　って書いてあるんだぞ。

39 ：

ぁ、そうですね
その下の条件と今の条件でなぜ、lとmが一致するんですか？

40 ：

>>39
作図してみ

41 ：

>>39
直線は、それが通る点（１点）と方向ベクトルが決まれば、一意的に確定するから。

42 ：

数列{a_n}について、すべての番号nでa_(n+1)-a_n=n^2となっている時のa_nをnで表せ
教えてください
両辺にΣをつけるのかと考えましたがa_(n+1)-a_1=…とa_1がでてきて解けませんでした><

43 ：

階差数列

44 ：

a_1ないとわかんなくね？

45 ：

ルアーだろ

46 ：

不定積分
∫1/x^2(x+1)dx
答えが手元になく、部分分数への変換もうまくいきません
お願いします

47 ：

積分定数Cと同じで、a_1は任意定数

48 ：

>>47
そのまま置いとけばいいんですね有難うございます

49 ：

>>46
1/｛x^2(x+1)｝=1/x^2-1/｛x(x+1)｝
=1/x^2-1/x+1/(x+1)

50 ：

>>49
ありがたまきん

51 ：

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52 ：

>>19ですが、>>20さんのおっしゃるように具体例を考える以外の証明法はないのでしょうか？

53 ：

>>52
3次の多項式関数の場合の主張なんだから、それでいいじゃん。

54 ：

物分かりが悪くてすいません、三次関数の証明では、一例を挙げれば全てに当てはまる、というのは証明として使ってよいのですか？

55 ：

すいません、>>54は>>16のレスです

56 ：

>>54
y=a(x^3-3p^2x)　　(p>0)とでも置いたらいいんじゃね
極値をもつ3次関数はこれを平行移動したものだ

57 ：

直接ガリガリ記述していったらえらいことになってきた
a≠0かつf(x)は極値を持つとき
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
⇔ (3√3){f(x)-d-2b^3/(27a^2)+bc/3a}/[a{b^2/(3a^2)-c/a}^(3/2)]
=[(√3)(x+b/3a)/{b^2/(3a^2)-c/a}^(1/2)]^3-(3√3)(x+b/3a)/{b^2/(3a^2)-c/a}^(1/2)
なので
g(x)=(3√3){f(x)-d-2b^3/(27a^2)+bc/3a}/[a{b^2/(3a^2)-c/a}^(3/2)]
t=(√3)(x+b/3a)/{b^2/(3a^2)-c/a}^(1/2)
とおくと
y=f(x)は平行移動と軸方向の拡大縮小反転で
y=g(t)=t^3-3tと変形できることがわかる
(±1,g(±1))は極大極小点、(0,g(0))は変曲点で、g(-2)=g(1)=-2, g(0)=0, g(-1)=g(2)=2
x=[t{(b^2-3ac)/a^2}^(1/2)-b/a]/3

58 ：

>>57
もっと頑張れ！

59 ：

>>16
f'(x)=k(x-α)(x-β)とおいて f(α)=f(η)となるηを求める。
f(x)-f(α)=k(x-α)^2(x-η)となるので両辺微分して
k(x-α)(x-β)=2k(x-α)(x-η)+k(x-α)^2
これはxについての恒等式なのでx=βの時も成り立つ。
またα≠βであるから0=2k(β-η)+k(β-α)
k≠0よりη=β+(β-α)/2=3β/2-α/2

60 ：

>>16
一対一なんかで「三次関数の箱詰め」として紹介されてたような気がする。
この辺りの小ネタは「数学ショートプログラム」という本が詳しい。読むといいと思う。

61 ：

単位円上を一定の速さｋで動く点Ｐについて
Ｐの速度ベクトルｖと加速度ベクトルaが垂直な事を示したいのですが
v=(x',y') a=(x'',y'')と置いて条件から(x')^2+(y')^2=k^2の両辺を時間で微分して
x'*x''+y'*y''=0となることは分かったのですが
Ｐの位置を（cost,sint)と置いて
v=(-sint,cost) a=(-cost,-sint)条件から(sint)^2+(cost)^2=1
となり条件が足りなくなってしまいました
前者の解き方では使っていてと後者の解き方では使っていない条件ってどれにあたりますか？

62 ：

>>61
(sint)^2+(cost)^2=1
を時間で微分したら、上と同じなんじゃないの。

63 ：

>>61
後者はちゃんとv=(-sint,cost)とa=(-cost,-sint)の内積0になってるじゃん

64 ：

>>61
>Ｐの位置を（cost,sint)と置いて
では
>単位円上を一定の速さｋで動く
になってない（tが時間だとすれば）。

65 ：

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66 ：

>>62>>63>>64
有り難うございます
では問題が円の代わりで楕円x^2/A^2 + y^2/B~2 = 1上をPが動き
後者の解き方で考えた時
Ｐの位置を（Acost,Bsint)と置いて
v=(-Asint,Bcost) a=(-Acost,-Bsint)
速さが定数の条件から
(Asint)^2+(Bcost)^2=k
これらを使って
v↑＊a↑＝A^2sint*cost-B^2sintcost＝０
を示せないのは何故なんでしょう？もしくは式変形をうまくすれば示すことはできるのでしょうか

67 ：

　テメ〜ら、いいかげんにしねえと、ブッRぞ！
　２０代と３０代の、ニート・無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！
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69 ：

何が疑問なのかわからん
そもそもだ円上の等速運動で速度と加速度が垂直なんて一般に言えんだろ

70 ：

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71 ：

>>69
(Asint)^2+(Bcost)^2=k　�@この式を両辺ｔで微分したら
２Asintcost-2Bcost=0
⇔A^2sint*cost-B^2sintcost＝０
を導けるのですが・・

�@の式を微分したらできるのに
媒介変数で（Acost,Bsint)とわけてそれぞれ微分したら
うまく導けないのはどうしてなのかと疑問に思いまして

72 ：

ますます何がしたいのかわからん
何が仮定で
何を結論したいのか
ちょっと書いてみろ

73 ：

>(Asint)^2+(Bcost)^2=k　�@この式を両辺ｔで微分したら
>２Asintcost-2Bcost=0
>⇔A^2sint*cost-B^2sintcost＝０
>を導けるのですが・・

なにを導いたつもりなのかわからねぇ

74 ：

>>69
>そもそもだ円上の等速運動で速度と加速度が垂直なんて一般に言えんだろ
そんなことない

75 ：

>>66
だ円の周上を等速運動する点Pの位置は (Acost, Bsint) とはおけない。

76 ：

すいません
仮定　楕円x^2/A^2 + y^2/B~2 = 1上　を一定の速さｋで動く点Ｐがある
結論　Ｐの速度ベクトルｖと加速度ベクトルaが垂直

Ｐの位置を（Acost,Bsint)とおいて
一つ目の解法
速度一定の条件から(Asint)^2+(Bcost)^2=k
２Asintcost-2Bcost=0
⇔A^2sint*cost-B^2sintcost＝０
↑これは速度ベクトルと加速度ベクトルの内積になっていて０なので垂直ということをしめせた
２つ目の解法
Ｐの位置を（Acost,Bsint)これをｔで微分して
v=(-Asint,Bcost) a=(-Acost,-Bsint)
速度一定の条件から
(Asint)^2+(Bcost)^2=k
速度ベクトルと加速度ベクトルの内積が０であることをしめしたいができない
何故なのでしょうか？

77 ：

>>75
何故ですか？
円でおいてｘ軸ｙ軸各方向に拡大縮小したとかんがえたのですが

78 ：

>>76
> だ円の周上を等速運動する点Pの位置は (Acost, Bsint) とはおけない。

79 ：

>>77
時刻tにおけるPの位置を(Acost, Bsint)と置くとその時の速度は
(d/dt(Acost),d/dt(Bsint))=(-Asint,Bcost)
その絶対値は
√(A^2sin^2(t)+B^2cos^2(t))
となりtによって変化する
よって速さは一定ではなく、等速運動ではない

80 ：

>>76
＞(Asint)^2+(Bcost)^2
t=0のときB^2, t=π/4のとき(A^2+B^2)/2 , t=π/2のときA^2

81 ：

>>79
なるほど
いわれてみれば膝を叩きたくなりました
何で自分式弄ってる最中に気が付かなかったんでしょう・・
ではこの場合速度ベクトルを（ｘ’、ｙ’）とおくしかないということなんでしょうか？

82 ：

>>77
(cost, sint) は円周上の等速運動をする確かに。
しかし、それをx軸方向とy軸方向で　異　な　る　比率　で拡大したら、もはや等速にならんだろ。
(2cost, sint)という点だったら、点(2,0)付近で遅く、点(0,1)付近で速く動きそうに思えんか？
一周する時間が変わらんわけだから、x軸方向に伸びた分、x方向の移動ペースが速くなる。

83 ：

そもそも「速さ一定なら速度⊥加速度」てのは軌道の形によらないわけだが（微分可能な曲線であれば）。

84 ：

>>82
仰るとおりです
>>83
そうなのですか？
なんだか不思議な性質ですね


みなさん詳しく説明有り難うございました

85 ：

2次元なら
v↑=(dx/dt, dy/dt)　…(i)
a↑=(d^2x/dt^2, d^2y/dt^2) …(ii)
|v↑|^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 = 定数…(iii)
(i),(ii)　と (iii)を両辺微分してv↑・a↑=0が得られる
それと>>66が問題なのは角速度を一定にしたことだから、
これををω(t)みたいな形でおいてやればいい

86 ：

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87 ：

f(x)=2x^2-6x＋1
極値を求めよ。
教えてください

88 ：

極値ってなにか分かっていれば絶対解けるはず。
極値がそもそも分かっていなければ解けるはずないから、まずその意味を調べてからだ。

89 ：

このスレ見てからEnglish板の中高生質問スレにいったらここのスレの優しさを改めて認識しました
皆様いつも御世話になっております
ありがとうございます

90 ：

1+log{1/2}(x-3)(x-6)>log{1/2}(x)を解け
真数条件より、x<3,6<x,x>0,つまり0<x<3
このとき、
1+log{1/2}(x-3)(x-6)>log{1/2}(x)
log{1/2}(1/2)+log{1/2}(x-3)(x-6)>log{1/2}(x)
底1/2<0より、
(1/2)+(x^2-9x+54)<x
2x^2-20x+109<0
としたのですが、2x^2-20x+109<0では実数解がありません。
式変形のどこかで間違っているはずなのですがわからないです。
どこがいけないんでしょうか？

91 ：

>>90
ここ　＞(1/2)+(x^2-9x+54)<x

92 ：

>　(1/2)+(x^2-9x+54)<x
↑ここ、掛け算だよ

93 ：

>>91-92
ああ！足し算は掛け算になるんでしたね！
即レスありがとうごさいました！

94 ：

>>56-60
ありがとうございます！
正直>>57さんの四行目あたりからは書いても何が起こっているのか理解が難しいのですが（理解力が乏しくて申し訳ないです。また考え直します）、>>59さんの方法で納得できました。
皆さんありがとうございました。数学のショートプログラム、という本は興味が湧いたので購入しようと思います
勉強になりましたm(__)m

95 ：

>>94
いやまあ>>59が一番いいよ、うん

96 ：

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97 ：

>>84
加速度の進行方向成分が0じゃなかったら速さが変わっちゃうだろ？

98 ：

>>95
>>59でちょっと訂正
f’(x)の係数をk→3kに
結果は変わらんけど

99 ：

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