代数幾何学ビギナーズスレッド（２）

1 ：2011/12/26 〜 最終レス ：2013/01/06

これから代数幾何学を学んでみたいけど、何をどういう順にやればいいのかわからない人。
代数幾何学といっても広大なので、どういう分野があって、どんな研究が活発に行われているのか知りたい人。
そんな人たちが玄人から助言を貰ったり、お互いに意見交換したり、勉強の進度を報告しながら
代数幾何学の深遠なる聖域に近づくためのスレです。
学生・社会人・お年寄り・ニート・在日いかなる人にも代数幾何学への道は開かれています。
皆さん頑張りましょう！
前スレ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1292328055/

2 ：

・荒らしはスルーでお願いします。
・（代数幾何と関係ない）質問は質問スレで。
・代数”と”幾何ではありません。
・知ったかする暇があったらHartshorneでも読んでください。
・○○ってなんですか？→まずはググりましょう。

3 ：

猫

4 ：

梶原代数曲線,命題1.7.1の証明の最後の二行は正しいですか？

5 ：

スキームって何ですか？

6 ：

EGAが大変だと思う人は、まずAGAを読み、次にBGAを、そして次にCGA、DGAと
読めばよい。コーネル大学ではこの方式で、線型代数も知らない院生が3年後には
minimal modelの論文を書いたり、超弦理論への応用を厚かった学位論文を書いたり
している。10年以内にICMのスピーカーになった人も3人いる。

7 ：

最初にすべきことは…
墓か逃げ道を用意しておくこと

8 ：

アメリカの研究者は、証明も知らずにどんどん使って
論文を書いていく。そのうちに証明は後からわかるようになる。
学部の頃からガチガチの証明ばっかりやってるから
日本の研究はダメなんだな。
基底定理、零点定理も証明は読んだことがない、できないという
Mumfordの孫弟子に会ったことがある。一流雑誌に論文はあるのに。
彼は、クルル次元と代数多様体の次元が等しいことも知らないで
「クルル次元って、なんでdimensionっていうんだ？」とか聞いてきて
俺がびっくりした。

9 ：

>>8
同じ話を何度もするジジイ嫌い

10 ：

>>4
正しいと思うけど。
どっか間違ってる？

11 ：

博士課程に入ったばかりの頃はめちゃくちゃいってるけどそのうちまともになるということは聞いたことがある。
学部では日本人の方が優秀だけどいつのまにか追い越される。
教育制度の違い、馬力の違いだろ。

12 ：

>>9
ああ、>>8のことか。あれは前スレで俺が書いたんだが、
全部俺の創作だよ？　前スレでけっこう釣れてびっくりしたよｗ
放置しておいたが、俺の創作を信用して他で話す馬鹿が出ると
悪いので、今年の内に釣り宣言しておくわｗ

というか>>11も釣られてる？ｗ

13 ：

つられたー。
ちなみに証明なしはイタリア人の得意技。

14 ：

次の定理はGrothendieckのTohokuの定理そのままだがGrothendieckは面倒な証明は省略している。
俺は T の定義域のアーベル圏が十分多くの単射的対象を持たなければこの定理は成り立たないと思った。
しかし、良く考えたらＯＫだった。
Hartshorneのp.206のTheorem 1.3A
T = (T^i) がδ-functorで各 T^i、i ＞ 0 がeffaceableなら T はuniversal

15 ：

>>11
大学院でも、コースがしっかり準備されて、期末試験も
やるからね（ダメなら奨学金打ち切りだから、ほぼ退学）。
だから、数年で伸びる学生も出てくるけど、ダメ学生には
辛い場所。
あー、放任大好きの猫とは方向は逆だが、虚偽院生は
さっさと追い出せってところは、猫と同じかｗ
日本の大学院生が勉強しなさ過ぎなのが悪いのか、ぬるい
環境を作っている大学が悪いのか。

16 ：

>>12
有り得る話だろ。
定理を使いこなせるなら証明は追わなくてもいい。
ただし、循環論法を避けるため証明の概略は知っておいたほうがいい。

17 ：

日本人にあったやり方だからしょうがないんじゃない、東大式か京大式にせよ。

18 ：

>>10 ゆえにの前に、どんな言葉を補いますか？
何の定理をつかって？
それまでと比べて議論が飛んでいるとおもうのですが。

19 ：

>>18
間違ってると思うんなら何がどう間違ってるか言わないと
意味ないだろ阿呆

20 ：

例えば正則局所環はUFDであるという定理があるが鵜呑みで問題ないだろ。

21 ：

18の補足。
ここで、何故？と聞かれて、自明としか答えられないようなら、
数学的厳密性についての認識が緩い人だと思う。

22 ：

数学の証明は、必要とあらば、形式的に厳密に
展開できなくてはならない。ゼミで訓練されること。

23 ：

発見は貴族がする。
証明は平民がやれば良い(Enriques)ｗ

24 ：

イタリアの幾何学者は貴族か？

25 ：

>>18
自明だと思うよ。
どういう違和感があるのか書いてくれないと何とも言えない。
たとえばゆえにの前にどういう命題を補えばいいと思ってるの？

26 ：

Enriquesは貴族だったらしい

27 ：

>>25
それでは答えになっていない。
ゼミだったら不合格だよ。
どんな命題を補えば正しくなるか、それを
聞いてる。
少なくとも、1pからそこまでは論理を追えてる私が
違和感を感じているので、自明では駄目。
より論理的に展開できるはず。

28 ：

予想したって自分で証明しなと評価はされない。
某インド人のように。

29 ：

>>27
厳しいなｗ
誰かにバトンタッチする。

30 ：

>>27
ゼミだったらお前は教授に殴られてるよ。

31 ：

書き込みみてりゃわかるだろ

32 ：

>>27
自分が理解出来ないから証明として不十分なのかｗ

33 ：

>>29
P29の二行目だっておかしいでしょう？
イデアルの次数なんて定義してないし。
(別の理由から、Rと等しく無いことは自力で言えたけど)

34 ：

学生:あきらかに...です。
先生:なぜ？
学生:え？自明では？
先生:なぜ自明なの？
学生:ぐげ
よくあるゼミの風景

35 ：

>>28
なこたあない。
予想の内容による。

36 ：

>>35
リーマンのように他に実績がある人のことだろ

37 ：

>>34
立場が逆だったらどうなる？
先生:あきらかに...です。
学生:なぜですか？
先生:え？自明では？
学生:なぜ自明なのですか？
先生:ぐげ

38 ：

>>36
taniyamaはどうだ？

39 ：

>>33
Z_iの次数じゃないの？
生成元がZ_iを含んでたらRに等しくないよね。

40 ：

>>38
谷山さんの業績はなかったの？

41 ：

梶原代数曲線は、基本的に馬鹿丁寧すぎるほど
丁寧に書いてあるんだけど、1.5.13(4)の最後の四行も
とんでる気がする。自力で埋めたけど。
他が丁寧すぎてトーンが一律でないから違和感感じるんだよな

42 ：

>>39
最後の二行に入る前にKがk(Y)を含む体であることは
最後の二行のどこでつかっているの？

43 ：

>>42
お前の最大のミスは日本語のテキストを選んだことだ
洋書ならそのへんに転がってるから誰でも見れるのにな
和書は参照できるやつが限られるから今後も返答が期待できないなｗ

44 ：

P29で、
F(Y)=a_n Y^n+...+a_0=Y^n-(z_1+...+z_n)Y^{n-1}+...+-(z_1...z_n)
まではよくて、
その後、なぜ
a_n=1,a_{n-1}=-(z_1+...+z_n),... in K
が言えるの？
kでなくKというのが問題。
それまでのトーンからして変では？

45 ：

>>42
自分で考えて読んで。
あんま細かいこと言いだすときりがないよ。
とにかくこんな初歩的な命題が間違ってるようならこの先を読む価値ない。

46 ：

ここにその命題を書いてくれ

47 ：

>>45
ね？自分でも実はよく分かっていなかったと
自覚した？
この前に、一般に剰余環の構造はわからないものだから
気をつけるようにという注意書きがある。
ここでのKは体であること以外、どんな環か
分からないでしょう？
だから言葉はたりないよね？

48 ：

>>46
では、やさしい方が教えてくれると信じて。
命題。体kを係数とする定数で無い多項式F
に対して、
kを含む体Kで、F(X)がK[X]において一次式の積に分解
するものがある。
証明のすじ。
Fの次数をn,k(Y)を体kの分数式とする。
R:=k(Y)[Z_1,...,Z_n]
とし、
MをRの極大イデアルで、
F(Y)-(Y-Z_1)...(Y-Z_n)
を含むものとし、
K:=R/Mとする。
Kはk(Y)を含む体であり、
F(Y)=(Y-z_1)...(Y-z_n)
である。ここでz_iは、
Z_iのKでの剰余類。
(ここまでは、よいとする)
ここから、どうやって証明を終わらせますか？

49 ：

>>48
MをRの極大イデアルで、
F(Y)-(Y-Z_1)...(Y-Z_n)
を含むものとし、
ここは訂正。
その式の生成するイデアルを含む極大イデアルです

50 ：

あ、そっか、z_i変数の多項式とみなして、逆に解くのか？
それならそうと書かなきゃ

51 ：

えと、でもさ、二つの剰余類z_1とz_2が異なることも本当は
証明する必要あるんじゃ？自明？

52 ：

>>48
俺がここで証明してやろう。
F(X)が少なくとも一個の根をもつような k を含む体 K が存在することを証明すれば十分(何故か？)。
F(X) の k[X] における既約因子の一つを f(X) とする。
K = k[X]/(f(X)) とおけばよい。

53 ：

>>52
有難うございます、
その四行で証明が終わってあることはわかりました。
そうなんですよ、もともと一変数多項式だから、
多変数多項式へ持ち込む理由がわからない。
くどいけど、48の証明から、証明完成できますか？
問題は、Mが存在はわかれども、具体的な構造は
わからない。だから、
Kもどんなものか分からない。
だのにどうやってz_1とz_2が剰余類として異なることを
示すのでしょうか？

54 ：

>>52
>F(X)が少なくとも一個の根をもつような k を含む体 K が存在することを証明すれば十分(何故か？)。
K において F(X) が根 α をもつとする。
F(X) = (X - α)G(X) と書ける。
ここで G(X) ∈ K[X]
G(X) が定数なら終り。
G(X) が定数でないなら G(X) が少なくとも一個の根をもつような K を含む体 L が存在する。
以下同様。
この操作は有限回で終わる。

55 ：

48の後、本では
ゆえにFの各係数は{z_I}の基本対象式に等しい(こんと係数の関係).
よってK[X]においてもF(X)=(X-z_1)...(X-z_n)と分解する。証明終わり
とあります。著者勘違いしてますよね？それとも私が？

56 ：

>>54 さすがお優しい！有難うございます。
それは私にもわかりますし、
そこまで詳しく証明しているような本なんですよね、この本。
それでここでは違和感感じたのです。

57 ：

>>50
おまえ代数の基本がわかってなさすぎなんだよ
そんなんでハーツホーンが読めると思ってるのか
複素幾何とか背伸びせずにアティマクこなせバカ

58 ：

>>48
訂正2
k(Y)は分数式全体の作る体(分数体)

59 ：

>>57
むしろ分かっているから不備を不備と見つけられたんでしょう？
反論するなら48を完成させてみて

60 ：

教科書ルンペンでは数学の研究は出来ない

61 ：

>>48
二つの訂正をして再掲
命題。体kを係数とする定数で無い多項式F 
に対して、 
kを含む体Kで、F(X)がK[X]において一次式の積に分解 
するものがある。 
証明のすじ。 
Fの次数をn,k(Y)を体kの分数体(k係数分数式全体)とする。 
R:=k(Y)[Z_1,...,Z_n] 
とし、 
MをRの極大イデアルで、 
F(Y)-(Y-Z_1)...(Y-Z_n) 
が生成する単項イデアルを含むものとし、 
K:=R/Mとする。 (剰余環)
Kはk(Y)を含む体であり、 
F(Y)=(Y-z_1)...(Y-z_n) 
である。ここでz_iは、 
Z_iのKでの剰余類。 
(ここまでは、よいとする) 
ここから、どうやって証明を終わらせますか？ 
なぜz_1とz_2は異なる剰余類？

62 ：

>>61
お前、相当悔しかったんだな。
そんなん自分で考えて読むんじゃないの？

63 ：

現時点での序列
クマー>50>ナウシカ

64 ：

>>63
それは年齢の序列やろ

65 ：

ここでちょっと脳を解そう
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org2431750.jpg

66 ：

>>61
Fの方程式の形次第ではz_1,z_2が同じ剰余類と
いうことはありうる。
やはりその後の二行はすぐには言えないと思う。

67 ：

うん、やっぱりおかしい。
だって、z_1はz_2と同じどころか1と剰余類として
等しい事だってありえるでしょ？
Fは既約とかいう条件が無いんだから。(z_1がYと剰余類として異なる事も言わないといけない)
でも、z_1,...,z_nは対称。
もしかしたら自明でないどころか、
このギャップは埋められないんじゃ無いの、本質的に。

68 ：

>>67
z_1 = z_2 だと何か問題あるの？

69 ：

>>68
先にも書きましたが、Fが非分離だと、
z_iらのいくつかが(剰余類として)等しく、幾つかとは異なる。
z_iらは一方で対称におかれているのみ。
さらにz_iが、例えば3Y+4と剰余類として異なる事も言わないといけない
こんな状況で61を完成させるのは無理。
だから61は証明の方針から間違えている。
それまでも似た論法はやっているんだけど、
Fが具体的で簡単な式だったから、なんとかなった。
でも今回は誤り

70 ：

>>69
>z_iらは一方で対称におかれているのみ。
どういう意味？

71 ：

61をみればわかるけど、その後証明を完成できないでしょう？

72 ：

>>71
F(Y) = (Y - z_1)．．．(Y - z_n) だから F(Y) の係数は z_1、...、z_n の基本対象式である。
よって、K[X] において F(X) = (X - z_1)．．．(X - z_n)

73 ：

対称かどうかはあまり関係ないな。
例えばF(X)=3(X-1)^2では？
なんなら3はとってモニックにしてもよい

74 ：

>>71
一行目はなぜ？
Y=2z_1+3の場合はなぜない？

75 ：

>>71
一行目、
Rの世界でそうなっているならわかる。
Kの世界だからよくわからない

76 ：

>>75
F(Y) = (Y - z_1)．．．(Y - z_n) の両辺は K の元だよ

77 ：

>>75
F(Y) = (Y - z_1)．．．(Y - z_n) が分からないのか？
だったら環論の初歩を復習したほうがいい。
剰余環のところ。

78 ：

>>76
はい。
だから、なぜ解と係数の関係がすぐに
つかえるか不明。
Yとz_1がRでは無関係(独立)でも、Kではどうか分からない

79 ：

>>78
剰余環が分かってないならこの証明を理解するのは無理

80 ：

アメリカでバス氏を直撃すると、氏は「12ヵ月以内に」日本が倒産すると断言した。
過去20年間、日本の株式市場が80%、不動産市場が70%も落ち込む中で、唯一、国債だけは傷ついていません。
そのため多くの日本人が「日本国債は安全だ」と思っているが、それは大きな間違いです。
いまほど日本国債が危険なときはありません。
私の周りの投資家、ヘッジファンドマネジャーたちは、日本の国債リスクを認識して、すでに行動に移しています。
先日も、ある日本の機関投資家が「リスクヘッジするのを助けて欲しい」と私のところにきていました。
いま日本国債のリスクをヘッジする費用は非常に安くあがります。ほとんどタダ同然だから、��知っている人�≠ﾍみなやっていますよ。
国家レベルで見ても、アメリカや中国が日本国債へのエクスポージャー(投資リスク)を減らしているじゃないですか。
実は日銀の白川(方明)総裁も、この4ヵ月ほどの間、議会でもプライベートでも日本の金利上昇(国債暴落)のリスクに言及し始めている。
日本という国の未来は厳しいものになると警戒している。それでも、どうして日本人は日本国債が安全だと考えてしまうのでしょうか・・・・・・。
もし私が日本人ならすべての資産を他国の銀行、カナダやオーストラリアのように財政赤字があまりない国の銀行に移すでしょう。
ノルウェーもいい。日本やヨーロッパの国債に投資はしない。私たちがやるべきことは、おカネを失わないようにするということです。
だから私はいま、世界中を見渡して、高い金利を支払ってくれる企業の社債を買っています。
逆に日本国債に投資するのは最もクレイジーな(愚かな)ことです。すでに持っているなら、すぐに売ったほうがいい。
いざとなったら政府が助けてくれるなどと悠長に考えている人は、国債に投資した額の70~80%を失うことになるでしょうね。

81 ：

>>79
わかっていますよ。
Mがどんな環かわからないでしょう？
以前読んだ代数の本では、クマーさんの
一変数多項式の範囲での証明を読んで納得したけど
これは納得できない。

82 ：

まず、モニックという条件が抜けているのはよいですよね？
可約の場合でもよいですか？

83 ：

可約でF(X)=(X-1)(X-2)
k=有理数全体
で考えましょうか
この場合は、拡大する必要はないのですが、
この証明では、おかまいなしに進んでしまいます。
よいのですか？

84 ：

>>81
>Mがどんな環かわからないでしょう？
Kがどんな環かわからないという意味？

85 ：

クマみたいな馬鹿に聞いても無駄

86 ：

>>83
無問題

87 ：

>>85
お前キチガイだろ
シツコイんだよ
何が気に入らないか知らないが

88 ：

よっぽど俺に劣等感を持ってるらしいなｗ

89 ：

結局何がわからないんだ？
どうしてF(X)がK[X]で一次式の積に分解できるかわからないってこと？

90 ：

>>84
そうです。

91 ：

>>83
そしたら、
FはKでは1,2とz_1,z_2でふたとおりに分解されてしまう

92 ：

>>90
K は F(X)が一次式の積に分解できる体であるということが分かれば十分
具体的な構造を知る必要はない。

93 ：

>>91
z_1 = 1、z_2 = 2 となるから無問題

94 ：

http://www.youtube.com/watch?v=uH0EKB-v5Ns

95 ：

>>92
それはわかります。
でもおかしいでしょう？
質問1
さきのF(X)=(X-1)(X-2)
で
z_1-1はKでゼロか非ゼロか？
質問2
一般のFで、
z_1-2Y-3はKでゼロになることはありえないか？
証明付きで。
z_1-2Y-3がKでなぜ

96 ：

>>93
なぜ？証明してください。
どうやってz_1=2,z_2=1の可能性を排除したのですか？

97 ：

95の最後の一行削除
質問2の意図は、これがゼロだと解と係数の関係に持ち込めない

98 ：

>>96
正確には z_1 = 1、z_2 = 2 または z_2 = 1、z_1 = 2 となる。
面倒だから書かなかっただけ。
証明しよう。
ψ：R → R/M = K を標準的な準同型とする。
F(Y)-(Y-Z_1)...(Y-Z_n) ∈ M だから
ψ(F(Y)) = (ψ(Y) - ψ(Z_1))．．．(ψ(Y) - ψ(Z_n))
よって、
ψ(F(Y)) = (ψ(Y) - z_1)．．．(ψ(Y) - z_n)
一方、M ∩ k(Y) = 0 だから
ψ(k(Y)) は k(Y) と同型
よって、ψ(k(Y)) と k(Y) を同一視できる。
よって、
F(Y) = (Y - z_1)．．．(Y - z_n)

99 ：

>>98
そこまでは了解しました。
質問2はどうします？

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