現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

1 ：12/01/31 〜 最終レス ：12/06/06

ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。

2 ：

ガロアの書き方が、現代の主流の置換群の書き方と違う
これについては、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨に詳しい
http://www.nikkei.com/life/culture/article/g=96958A96889DE3E2E2E5E5E4E1E2E0EBE2E4E0E2E3E29C9C99E2E2E3;p=9694E3E4E2E4E0E2E3E2E5E3E2E4
ガロアの群論　中村亨著 天才数学者の問題意識探る 2010/6/30付

3 ：

ただ、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨だけでは、本当の面白さは分からない
やはり、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) を傍に置きながら読まないと
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2-%E7%BE%A4%E3%81%A8%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%B3%BB%E8%AD%9C-11/dp/4320011643
出版社: 共立出版 (1975/4/20)

4 ：

倉田令二朗も、ガロアのアイデアにそった解説を書いている
http://books.google.co.jp/books/about/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%82%92%E8%AA%AD%E3%82%80.html?id=9xqpAAAACAAJ&redir_esc=y
ガロアを読む: 第1論文研究
著者 倉田令二朗
出版社 日本評論社, 1987
http://ameblo.jp/europa2718/entry-11041364474.html
2011-10-08 03:55:22
倉田令二朗著『ガロアを読む』第1論文研究　その2
http://ameblo.jp/europa2718/page-4.html
2011-10-19 03:50:26
破天荒の人　倉田令二朗

5 ：

>>3
現代数学の系譜 11によれば、ガロア論文では、現代的な群や体の定義は出てこない
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。
現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

6 ：

>>4
> 倉田令二朗
超準解析の人だろ

7 ：

ガロアの人物については下記
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア
（抜粋）
新資料の発見
決闘の原因と言われていた女性の素性が明らかとなった。
彼女の名はステファニー・フェリス・ポトラン・デュモテルといい、ガロアが最後に暮らしたフォートリエ療養所の医師で所長だったジャン・ルイ・ポトラン・デュモテルの娘であった。
彼らは親子共に親切な人物で、ガロアは次第にステファニーに恋愛感情を抱くようになって求婚したらしく、それに対する5月14日付でのステファニーによる断りの手紙の文面が、ガロア自身の筆跡でシュヴァリエへの書簡の裏に転記されていた。
その内容は文面を見る限り礼儀正しいものであり、少なくとも残された文章を見た印象では彼女が「つまらない色女」と表現されるような人物などではなく、そもそもガロアの遺書が真実を記したものとは言い切れないことが明らかになった。
その上でリガテリは、決闘であるならば勝つ可能性もあるのに、ガロアの死を確信した遺書に対する不自然さを指摘し、決闘の真相を次のように解釈している。
ステファニーに失恋したガロアは、｢民衆の友の会｣の会員と共に民衆を蜂起させる方法を考えていた時、ガロアが自分が犠牲となってその機会を作ることを提案した。
（作中では「D」と名前を明確にしていないが）デュシャートレがその相手を務めることとなり、ガロアは共和主義者の感情を煽るためにわざと無念を強調した遺書をしたためた。
そして、予定通り決闘を装った工作が行われてガロアは死亡し、あとは葬儀において蜂起するだけとなった。
ところが葬儀の当日、フランスの英雄であるジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の訃報が伝わり、ならばそれを契機に蜂起した方が良いと急遽予定が変更された、ということである（その後の暴動の様子はヴィクトル・ユーゴーの『レ・ミゼラブル』に詳しい）。

8 ：

>>6
乙
>超準解析の人だろ
かな？
http://www.jca.apc.org/beheiren/162KurataReijirounokai.htm
162.　倉田令二朗さんをしのぶ会のご案内（01/10/01掲載）

9 ：

>>8 補足
http://d.hatena.ne.jp/rockmass/20080315
2008-03-15
倉田令二朗、超準解析！（感謝を込めて）
（抜粋）
「まずは基礎論をやって、つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。」ということになった。
イプシロン-デルタ論法にかわる話を、大学に入って間もない、しかも理学部以外の学生に対してするので、教える側としては相当工夫しないと簡単には理解させることはできない。
それまでも毎回の配付資料の量の多さは異常だったが、ノンスタンダード・アナリシスになってからは、毎回の資料が30枚ほどになっていた。
いずれも汚ったない手書き文字のコピーなんだけど、いま思いだしても、非常に丁寧にわかりやすく作ってあった。
（数学者でもない私が口を挟むのもなんだが、超準解析は、いまでは多くの書籍もでて、当初は「ノンスタンダード・アナリシス」だったのに、いまでは「スタンダード」なアナリシスになった。
大学の講義でも広く扱われている。
倉田令二朗氏のすばらしさは、当然基礎論の大家でもあったのだが、30年もの昔にこの「ノンスタンダード・アナリシス」に最初に目をつけて独自に体系化し、さらに実学分野でも応用できるようにした点は、倉田令二朗氏によるところが非常に大きいと思う。）

10 ：

>>9
趣味ならいいけど

11 ：

はあ
こんなページがあるんだ
http://ufcpp.net/study/group/group.html
群という概念は、ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel、ノルウェーの数学者）が 5次方程式の一般解法の存在の有無を調べるために考えたものです。
この当時、アーベルは可換群しか想定していませんでした。後に、ガロアが群論を構築する際、非可換なものも群として考え、アーベルの考えた群は可換群として区別するようになりました。
可換群をアーベル群と呼ぶのはこの名残です。

12 ：

>>10
乙
>趣味ならいいけど
いや、どちらも利点がある。というか、「数学は自由だ！」「直感をもっと重視しよう！」「右脳を使え！」「もっと楽しく！」ってことじゃないかな？

13 ：

>>12
どうでもいいことだけど、「評価されんぞ」ということ

14 ：

>>12
”つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。”>>9
昔、イプシロンデルタが重視された時代があった
高校時代に数学の教師が、高校では極限はこれで済ますが、厳密にはイプシロンデルタみたく言った時代があったんだけど
そして、ワイエルシュトラスが直感を排した厳密な理論を作ったと喧伝された時代があった
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日）はドイツの数学者。
姓はヴァイアーシュトラスと表記するほうがより正確である。

15 ：

>>13
ああ、「評価されんぞ」か
まあ、良いんじゃない？
流行に流される研究ばかりじゃ面白くないだろ

16 ：

>>15
蛇足だけど、既存の解析の成果をすべて超準解析で書き換えなきゃいけないぞ。
δ(x)^2を定義したいというような明確な目的があれば別だろうが。

17 ：

>>16
うーん、「既存の解析の成果をすべて超準解析で書き換えなきゃいけない」ということもないように思う
超準解析でなにをしたいかってことじゃないかな
例えば、”超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。”と。つまり、ある分野に限ってでも使えれば良いと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析（ちょうじゅんかいせき）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。無限小解析と同一のものとも見なされる。
そこではイプシロン-デルタ論法によって一度は追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、ライプニッツ流の微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
アブラハム・ロビンソンによって考案された。
超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。

18 ：

>>17
「〜なにか問題が？〜」：”簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。”だと思う
過去、日本の多くの数学者が、直感を否定し厳密性を重視した時期があった。だが、２０世紀末から２１世紀は再び”直感”復権の時代だと思う
もっと直感を大切にすべき
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/mysis1.htm
超準解析１
原初無限小解析は、dxやdyが図形的な考察とともに乱れ飛ぶ直感的に明快な論理体系であった。
この考え方は固有の利点を持っており、オイラー信者の高瀬正仁大先生が著書｢dxとdyの解析学｣で詳細に述べていらっしゃる。
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/mysis2.htm
超準解析２
〜なにか問題が？〜
　　簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。
　導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。
　しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。
　頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。
　　私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。
　 数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか?
　　私の答えは、超準解析を学ぶことである。
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/mysis3.htm
超準解析３　One cushion at a Promenade
　超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)
　　しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。
　　本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。

19 ：

>>18　補足
まあ、こんな利用法もある
ある特定の分野で活用できるだけでも存在意義はあるし
人が直感を取り戻し、その直感を支える道具でも可だろうし
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0982-11.pdf
数理解析研究所講究録
982 巻1997 年115-125
超準解析による経路積分
駿台予備学校中村徹(Toru Nakamura)

20 ：

>>19 補足
中村徹 著 ｢超準解析と物理学｣

21 ：

>>20　乙　補足の補足
http://www.nippyo.co.jp/book/1320.html
超準解析と物理学｜日本評論社　数理物理シリーズ　中村　徹　著　旧ISBNコード4-535-78248-2　 発刊日：1998.06　判型：Ａ５判　ページ数：308ページ
無限大を実無限としてとらえる解析学《超準解析》の基礎をわかりやすく丁寧に解説し、
さらにその方法を物理学──エルゴード理論・ボルツマン方程式・経路積分など──に本格的に応用して展開した日本で初めての本。
第２章　超準解析による積分論とその応用
１節　ローブ測度
２節　積分
３節　ブラウン運動
４節　エルゴード定理
５節　ボルツマン方程式
第３章　超準解析による経路積分の構成
１節　経路積分公式の直感的な導出
２節　関数解析による合理化
３節　測度論による合理化
４節　ディラック方程式と*-測度
５節　*-測度からスタンダードな測度へ
６節　シュレディンガー方程式と*-測度
第４章　超準解析からみた位相線形空間
１節　ヒルベルト空間とスペクトル分解
２節　超関数論からの準備
３節　Ｄ’（Ω）の超準表現
４節　　’（Ｒ）の超準表現

22 ：

信者乙

23 ：

>>15
「評価されんぞ」か
溝口紀子氏。どうでも良いが、日経サイエンスに記事が出ていた。人の評価を気にせずやったと
http://www.saruhashi.net/latest.html
第３１回　猿橋賞受賞者　溝口紀子氏の研究業績要旨 04/19/2011 17:16:03
受賞研究題目「爆発現象の漸近解析」
“Asymptotic ysis of blowup phenomena”
　溝口紀子氏は、べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式をはじめとする非線形放物型偏微分方程式の爆発現象の研究において目覚ましい成果を挙げてきた。
　微分方程式の解の最大値がある時刻Tに近づくと無限大に発散するとき、その解は時刻Tで爆発するという。
　べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式は燃焼現象を記述するモデルとみなされ、解の爆発は「発火」を意味する。
　1960年代半ばに藤田宏氏によって先駆的な結果が発表されて以来、爆発は微分方程式の分野で最も活発に研究されてきたテーマのひとつである。
　微分積分学の授業で教わるような、座標変数と時刻の関数として陽に表すことができる解は強解または古典解とよばれる。
　解が爆発すれば、その時点で、発散した値からの解の延長は不可能であり、解は強解としての意味を失う。
　しかし、関数に適当な試験関数を乗じて方程式を積分することで得られるような、微分の概念を広げた方程式を満たす解が存在する可能性があり、このような解は元の方程式の弱解とよばれる。
　爆発後弱解としても延長不可能な爆発を完全爆発、爆発後も弱解としては延長可能な爆発を不完全爆発とよぶ。
　燃焼を例にとると、完全爆発は「完全燃焼」に、不完全爆発は「不完全燃焼」に対応すると考えられる。
　半線形熱方程式の爆発に関する研究は長年完全爆発を対象としてきたが、1990代後半になって、ある条件のもとではこの弱解は有限時刻で爆発することが証明され、
　この時点ではじめて不完全爆発する解の存在は認識されたが、不完全爆発する解の爆発後の振る舞いについては未解決のまま残されていた。

24 ：

>>23
>藤田宏

25 ：

>>22
ありがとう
このスレは、超準解析スレじゃない
だが、「数学に直感を取り戻そう！」というスレであることは間違いない

26 ：

難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する
これぞ数学の真髄（こころ）

27 ：

数学に直感を
複雑なことを図式化し
見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これが大事だと思うよ
これぞ数学の真髄（こころ）

28 ：

>>1
そろそろ主題に戻ろう
>ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
ガロアの原論文（「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」）を読むための３つのポイントは
１．ガロア分解式（リゾルベント）
　V=Aa+Bb+Cc+・・・
　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる
２．置換群のガロア記法
a b c d・・・・k
b c d・・・・k a
c d・・・・k a b
・・・・・・・・・・・
k a b・・・・・i
注）今日、置換は普通はコーシーの記法
（a b c d・・・・k）
（a b c d・・・・k）
（直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください）
（コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう）
http://homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf

29 ：

>>28　つづき
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応
（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）

30 ：

>>28-29　補足
１．ガロア分解式（リゾルベント）は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
２．置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31
に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論　中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式（リゾルベント）は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

31 ：

>>30
>ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない
下記藤原松三郎 代數學 P106あたりの記述が近いが、「ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応」という捉え方はしていない
http://www.rokakuho.co.jp/data/books/0026.html
代數學　　第二卷
A5／765頁　9450円（本体9000円＋税5%）　978-4-7536-0026-7
藤原松三郎（理学博士）　著
第十一章　がろあノ方程式論
1. 代數的數體／2. 方程式ノがろあ群／3. がろあ分解式ノ簡約／4. 代數的ニ解カレル方程式／5. 圓周等分方程式／6. あーべる方程式／7. 素數次ノ方程式

32 ：

>>30
>ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない
補足
ガロアの時代
今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない
体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算（積と和）で閉じた集合として捉えられていない
そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う

33 ：

>>29
さて、ガロアは
V、V'、V''、・・・・、V''*
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
１．この方程式は、例えば一般の５次方程式なら根の置換は１２０個あり
２．V、V'、V''、・・・・、V''*も、１２０個あり（５次の置換で異なる値をとるから）
３．F(x)は１２０次の方程式
４．そんなものを考えてどうなる？
５．どっこい、F(x)の１２０次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ

34 ：

>>33
例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に添加すると
ガロア方程式は、二つに分けられるだろう
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて
V、V'、V''、・・・・、V''**として
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）を作ることができる
残りの積は、奇置換に属するものの積
こう考えることにより
ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる
これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ

35 ：

もうちょっと読みやすく

36 ：

高校生の皆様、スレ主のインチキに引っ掛からないように気をつけてね。

37 ：

>>35
激励ありがとう
残念ながら、複雑な数学記号が掲示板では使えない
例えば、置換のコーシーの記法は、２行にわたる括弧が必要だが、ここでは使えない
そこらの読みにくさはご容赦願いたい
その制約の中で出来るだけ分かりやすくを心がける

38 ：

>>36
そうそう、よろしくね。怪しいところがあれば、指摘して
高校生の諸君は、図書館に
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>3は、あるか
ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>2も是非併読を
それから、倉田令二朗ガロアを読む>>4があれば完璧かな

39 ：

>>34　補足
差積と判別式は、下記に詳しい
ここでは、判別式は重根の有無を見分けるためと書かれている
しかし、差積（＝判別式の平方根）は、偶置換（＝交代群の置換）で値が変わらないということも重要なのだ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E6%A0%B9_(%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F)

40 ：

>>38 名前：１３２人目の素数さん ：2012/02/03(金) 07:19:19.91
>>それから、倉田令二朗ガロアを読む>>4があれば完璧かな
この「ガロアを読む」。誤植が多い様なきがします（第１刷）。最近の再版では
誤植はなくなったのでしょうか。

41 ：

>>40
誤植か？　さあ？
まあ、おいらも初版なので、誤植に気がついたところをここにアップしてちょ
確認するから

42 ：

>>38
そういえば、最近はコピー機などがあるから、面白いところをコピーすることも可だろう

43 ：

>>33-34
補足
ガロア方程式という言葉は、倉田>>4のP110では
「その任意の根が他の根の有理式（k上の）で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある
しかし、ここでは狭義にガロア分解式を根とするF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）をガロア方程式と呼びたい
それが、ガロアの頭の中にあったものだったろうから（ガロア論文で扱われているのはこれだ）

44 ：

>>43
そして、判別式の平方根を添加することで
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)
と二つに分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した
F’’(x)：奇置換に属するものだけを取り出した
となる

45 ：

>>44
そして、これを素数Pのべき根に一般化すれば
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・・F’p(x)
とp個に分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：ある部分群に属するものだけを取り出した
F’’(x)・・・・F’p(x)：ある部分群の共役に属するものだけを取り出した
となる
これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう

46 ：

>>45
補足
方程式のガロア群をGとすれば、ある部分群をHとして
G=H＋τ1H+τ2H+・・・・+τp-1H
と左剰余類に分割されるべき（倉田>>4 P139 式(7)）
ここに、τ1、τ2、・・・・、τp-1は、ご存知Gを剰余類分割するときに登場するGの要素
なので、部分群Hの位数は群Gの位数をPで割ったものになる

47 ：

>>46
補足
なお、議論を簡単にするために
ここでは、念頭に置いているのは、一般の５次方程式で、ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）はkで既約で、重根を持たないと単純化している

48 ：

ここもいずれ熊に飲み込まれるか・・・
また一つ、クソスレが死んだ

49 ：

>>45
>これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう
こう考えると、ガロアの原論文の意図が見えてくる
例えば、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について、上記のガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セットを念頭に解説する
というかこの３点セットを念頭にしなければ、なにを書いているか理解できまい

50 ：

>>48
いや、猫いらずを撒いたので、熊はこない。よって、このスレはつづく

51 ：

(・3・)

52 ：

test

53 ：

>>49　つづき
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について
１．まず、（判別式の）平方根を添加することで、全体で24個の置換を含む（ガロア）方程式の群（＝４次対称群）は２つに分解するという
　　これは、>>44に書いた通り
２．そこで、12個の置換群（これが偶置換のみで構成される交代群であることは現代数学の常識ではあるが）
３．４次方程式の根をa,b,c,dとして、この群をガロアは下記のように置換群のガロア記法で書き下す
a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a
これで、24次のガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）が
12次のF'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した>>44 に次数が下がった

54 ：

>>53
a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a
この１２個の置換を含む群（＝４次の交代群）を立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる
そこで、３次の累乗根を添加することで、>>45-46のようにさらにガロア方程式の次数が下がる
群は
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
に縮小し、ガロア方程式も４次式になる

55 ：

>>54
群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
は、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a
と見ることができる
あとは、ガロアが書いている通り
平方根を添加することでガロア方程式も２次式になり、４次方程式が解けることになる
ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる
これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか

56 ：

>>54
訂正
立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる
　↓
縦４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる

57 ：

>>55　補足
”群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
は、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a
と見ることができる”
これは、クライン群などと呼ばれる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。
クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
また、交代群 A4 の正規部分群
V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
と同型。

58 ：

>>55
>ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる
>これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか
まとめよう
１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セット>>49が、ガロア理論の原型
２．そして、ガロア分解式からガロア方程式を作る>>33-34
３．平方根を添加すると、ガロア群は二つに分解し、その群の分解に対応してガロア方程式を二つに分解することができる>>43-44
４．同様にして、これを素数Pのべき根に一般化すれば、ガロア群はP個に分解し、その群の分解に対応してガロア方程式をP個に分解することができる>>45-46
５．このようにして、ガロア群の縮小に伴ってガロア方程式の次数を下げることができる
　　この様子を、ガロアは４次方程式について、解説しているのだ（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36）>>53-57

59 ：

>>57-58
「置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすく」を補足
群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
はコーシー流（現代の群論の教科書はこれ）では、次の４つの置換で書く
（a b c d）
（a b c d）
（a b c d）
（b a d c）
（a b c d）
（c d a b）
（a b c d）
（d c b a）
ここで、一番上の置換は恒等置換でｅと書かれたりする

60 ：

>>59　さらに補足
で、これだけだと、メリットが少ないと見えるかも
だが、群の分解を考えると
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a
と見ることができる”ってところでメリットがでる
１．つまり現代のコーシー記法だと下記
（a b c d）, （a b c d）
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （a b c d）
（b a d c）, （d c b a）
２．しかし、こうも見ることができる
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （c d a b）
（b a d c）, （d c b a）
つまり、ガロアの記法は「１行目の順列の並びが省略されたコーシー記法」だと
そして、上記２．の見方は、ガロアの記法の真骨頂
２．左の列の２番目は、（ab）と（cd）が入れ替わっている。これを番号に書き直すと（12）と（34）が入れ替わっている。右の列も同じく（12）と（34）が入れ替わっている。
そういう目で、もう一度>>53のガロア記法を眺めて欲しい。ガロアが見ていたものが見えるだろう

61 ：

自分のホームページでやれ。

62 ：

>>61
激励ありがとう
ここが、おいらのホームページだ

63 ：

>>60　つづき
置換群のガロア記法>>28について、もう一つ見ておこう
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”の最後P41で
定理VII
n=5とせよ；群は次のようなものであろう：
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e
ここで、a→1, b→2, c→3, d→4, e→5と置き換えると
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2
5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5
となる

64 ：

>>63　つづき
訂正スマソ　（５行目）
5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5
　↓
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5
第一番目の列
1 2 3 4 5,
2 3 4 5 1,
3 4 5 1 2,
4 5 1 2 3,
5 1 2 3 4,
が、長さ５の巡回群を表していることは見やすい

65 ：

>>63　つづき
さて、第一行目は
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3
1 2 3 4 5に、巡回置換（2 3 5 4）を次々に行なっている
つまり、第一行目は巡回群（2 3 5 4）（＝長さ４の巡回群）と見ることができる

66 ：

>>64-65　つづき
さて、第２列目を見よう
1 3 5 2 4,
3 5 2 4 1,
5 2 4 1 3,
2 4 1 3 5,
4 1 3 5 2,
第一番目の列の冒頭1 2 3 4 5,に巡回置換（2 3 5 4）を行なって第２列目の冒頭の1 3 5 2 4, が得られる
それをもとに、長さ５の巡回置換を上から順に行うと、第２列目全体が得られる
同じことを、第２列目に行なって>>63の第３列目が得られ、第３列目に行なって>>63の第４列目が得られる。

67 ：

３行で分かるガロア理論

68 ：

>>67
thx

69 ：

>>63
>ここで、a→1, b→2, c→3, d→4, e→5と置き換えると
これで全くの間違いという訳ではないが、これではガロアの見ていたものは見えない
a→0, b→1, c→2, d→3, e→4の置き換えでなければならない
これだと下記になる
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4

70 ：

>>69　つづき
第一番目の列
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
1 2 3 4 0
が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64
だが、第一行目の見え方が違う
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
これ、最初の順列を２倍したら次の順列で、それをさらに２倍したら次ということが見えるだろう
但し、mod 5(5を法として計算)でだが
ここは、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）の書き方から、もっと早く気づくべきだった

71 ：

>>69　続き
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
で、例えば、左から３列目で、上から３つめの順列3 2 1 0 4を考えよう
これは、最初の順列0 1 2 3 4を、４倍して３を足せば（mod 5 で）得られるんだ
このことを、ガロアは第VII節と第VIII節で書いている

72 ：

>>71
なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている
この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993
ほぼ同じ内容が下記（こちらの方が年代が後で少し詳しい）
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

73 ：

>>70　補足
”第一番目の列
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
1 2 3 4 0
が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64”
ここも、これで間違いじゃないが、これではガロアの見ていたものは見えない
mod 5(5を法として計算)で見ないと
つまり、最初の順列
0 1 2 3 4に＋１をすると
1 2 3 4 0が得られる
そう見るんだ！
それでこそ、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述と整合してくる！

74 ：

訂正スマソ
>>63
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e（５行目）
　↓
e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e
5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5（５行目） (これは>>64で書いたが再録)
　↓
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5
>>69
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目）
　↓
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
>>70
1 2 3 4 0（５行目）
　↓
4 0 1 2 3
>>71
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目）
　↓
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
>>73
1 2 3 4 0（５行目）
　↓
4 0 1 2 3
注）最初>>63で、アルファベットの順列のときに一箇所誤記があって、それに気付かず誤記が拡散してしまった。

75 ：

>>74
もう一度正しい群を書き下しておこう
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4　（←　ここが訂正）
そしてガロアが見ていたものは
１．縦に、順列0 1 2 3 4に対し、＋１mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群（部分軍＝長さ５の巡回群）が得られ
２．横に、第一番目の列の群
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
を、２倍 mod 5(5を法として計算)すれば、２列目、２列目を２倍して３列目・・と
３．それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述で言えば
ガロアが見ていたものは
Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+C
(ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください)

76 ：

>>75
「数学に直感を取り戻そう！」>>25
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する>>26
複雑なことを図式化し、見える化する>>27
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄（こころ）
ガロアの見ていたものが、少し見えてきただろうか？

77 ：

>>32
>ガロアの時代
>今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない
補足（説明が不正確だった）
ガロアは、群を群に属する二つの置換S、Tの積STが群に属することは明記している。
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP27だ
この事情は、ガロアの群論　中村亨>>2のP211に詳しい
ただ、ガロアが現代群論のように、集合論を基本として、単位元、逆元、積で閉じた集合として群を考えていたわけではなかった
だが、方程式のガロア理論を語るには十分だった
ただ、他の人にそれを理解させるためには、群の概念を現代のように明確にした方が良いわけで、そこがガロアの現論文が分かりにくいといわれる原因になっている
ただ、>>75で見たように、置換群のガロア記法>>30は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う

78 ：

>>62
これはひどい

79 ：

>>78
”これはひどい”？
証明できるかね？

80 ：

>>77
ガロアは群論の創始者であり、群論が一番有名だ
が、下記「ガロアへのレクイエム」や「近世数学史談」によれば、楕円関数論についても当時の時代を凌駕する研究をしていたようだ
山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/kojihas-jM.html
山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)にお世話になりました。
近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治
http://www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910

81 ：

>>79
2chは個人のホームページじゃないよ

82 ：

>>81
でももしそういう事をスル人が居るとして、ソレを阻止したり排除した
りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。
猫

83 ：

>>82
いやあ、こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ
スレ潰しには猫召喚が一番さ

84 ：

>>81
その証明には欠陥がある
”ここが、おいらのホームページだ”と言ったことで、果たして”個人のホームページ”になるのかどうか
その証明がなされてない

85 ：

>>82
乙！
>でももしそういう事をスル人が居るとして、ソレを阻止したり排除した
>りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
>のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
>を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。
同意だ
”自分のホームページでやれ。”>>61の方がひどいし、荒しという考えもある

86 ：

>>61の方がひどいし、荒しという考えもあるとして、ソレを阻止したり排除した
りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。

87 ：

猫に
>乙！
ってレスする人を初めて見たｗｗｗ

88 ：

>>85
>>86
いや、そうではありません。私は：
★★★『２ちゃんの運営側の管理者としての怠慢』★★★
を糾弾しています。誤解の無い様に願います。悪いのは決して>>61では
ありません。酷いのは２ちゃんの運営サイドですね。
猫

89 ：

猫の方がひどいし、荒しという考えもあるとして、ソレを阻止したり排除した
りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。

90 ：

これだけ大きくなってしまった２ｃｈを
簡単には運営できまい。
ボランティアが削除人をやっているのが現状だから。
だから、運営を批難する前に、２ｃｈを見なければ良いだけ。
見てしまったから撲滅するなんてのは、
理論的な思考とは真反対の、単なる、
自己愛性人格障害でしかない。
つまり、
「自分には数学の才能があるのに、
　数学者として十分に活躍できなかったのは、
　父親が悪いのだ」
などという自分勝手な妄想を固く信じているということは、
これはもう精神病である。
このような症状を、自己愛性人格障害という。

91 ：

>>89
正に『そういう事』です。私を規制できないという時点で２ちゃんの運営
は敗北しています。つまり私のこの作戦行動の標的は実は貴方達ではなく
て『２ちゃんの運営サイド』という事になります。
猫

92 ：

>>91
そう、俺は猫の敵でもなんでもないんだよ。
なあ、痴漢でクビになった寝取られ夫の猫さんやｗ

93 ：

>>83
>こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ
>スレ潰しには猫召喚が一番さ
熊がこなければ良い>>48-50
それにせっかく来てくれた猫さんに
”こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ”なんてどういう言い草かね？

94 ：

>>93
猫も熊も似たようなもんだってことだろう（爆

95 ：

>>92
まあこうやって２ちゃんの運営に圧力を掛けてる積りなんですがね。
ケケケ猫

96 ：

>>95
そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな

97 ：

>>93
別に構いませんけどね。私の作戦行動の目的が２ちゃん（少なくともこの
数学板）の壊滅である事は貴方も知ってるでしょ。
猫

98 ：

>>96
まあ「自由を獲得した」と言ったらどうですかね。
猫

99 ：

>>98
本当にそこまでポジティブに思ってるなら、いつもの猫さんなら
HNを変えるところなんだけどねー

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