Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
K[X_1、．．．、X_n] を多項式環とする。
α_1、．．．、α_n を H の元の有限列とする。
過去スレpart4の550より K-線型環としての準同型 ψ：K[X_1、．．．、X_n] → H で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
ψ が単射のとき α_1、．．．、α_n は K 上代数的独立であるという。
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
K[X_1、．．．、X_n] を多項式環とする。
α_1、．．．、α_n を H の元の有限列とする。
α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立（>>2）であるためには
f(X_1、．．．、X_n) ∈ K[X_1、．．．、X_n] で f(α_1、．．．、α_n) = 0 なら
常に f(X_1、．．．、X_n) = 0 となることが必要十分である。
証明
自明である。
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
α_1、．．．、α_n を H の元の有限列で K 上代数的独立（>>2）であるとする。
σ を {1、．．．、n} の任意の置換とする。
このとき α_σ(1)、．．．、α_σ(n) は K 上代数的独立である。
証明
K[X_1、．．．、X_n] を多項式環とする。
過去スレpart4の550より K-線型環としての準同型 ψ：K[X_1、．．．、X_n] → H で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
このとき各 i に対して ψ(X_σ(i)) = α_σ(i) である。
α_1、．．．、α_n は K 上代数的独立であるから ψ は単射である。
K[X_1、．．．、X_n] = K[X_σ(1)、．．．、X_σ(n)] であるから
α_σ(1)、．．．、α_σ(n) は K 上代数的独立である。
証明終
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
I を空でない有限集合とする。
(x_i)、i ∈ I を H の元の族とする。
I に全順序を導入し I = {i_1、．．．、i_n} とする。
ここで i_1 ＜ ．．． ＜ i_n である。
x_(i_1)、．．．、x_(i_n) が K 上代数的独立（>>3）であるとする。
このとき (x_i)、i ∈ I は K 上代数的独立あると言う。
>>4より、この定義は I 上の全順序の取り方に寄らない。
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
I を集合とする。
(x_i)、i ∈ I を H の元の族とする。
I の任意の空でない有限部分集合 J に対して (x_i)、i ∈ J が K 上代数的独立（>>5）であるとき
(x_i)、i ∈ I は K 上代数的独立あると言う。
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
S を H の部分集合とする。
H の元の族 (x)、x ∈ S が K 上代数的独立（>>6）であるとき
S は K 上代数的独立あると言う。
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
I を空でない有限集合とする。
(x_i)、i ∈ I を H の元の族で K 上代数的独立（>>5）であるとする。
このとき I の任意の空でない有限部分集合 J に対して (x_i)、i ∈ J は K 上代数的独立である。
よって、>>6の定義は>>5の定義と矛盾しない。
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立（>>7）であるとする。
H が K(S)（過去スレpart4の539）上代数的（過去スレpart4の633）なとき
S を H の K 上の超越基底（transcendence base）と言う。
このとき S は H/K の超越基底であるとも言う。
>>俺がここに書いたことまたはこれから書くことは全て架空の話だ。
>>565 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/29(木) 07:00:36.61
>>勿論、俺が書く数学の話は別。
＞勿論、俺が書く数学の話は別。
数学の話は、他とどうやって区別すればよいですか。
次は、超越次元ですか～
＞177 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/20(火) 16:26:34.92
＞外食のお相手は某有名大の女子大生
＞数学科だそうだ
＞彼女に圏論の手ほどきをしてあげる予定
＞特に交わりを持つ圏(代数的整数論019の165)についてｗ
＞213 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:29:10.63
＞どっちかにしろよ
＞俺が犯罪者なのかキチガイなのか
＞両立はしないから
＞215 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:31:20.01
＞キチガイは逮捕されても無罪
定義
H を可換体とする。
E と F を H の部分体とする。
E と F を含む H の最小の部分体を E と F の合成体と呼び EF と書く。
EF = E(F) (>>539) である。
902 ：１３２人目の素数さん：2012/01/21(土) 12:04:05.83
EF = E(F)＝F(E)＝FE
ですよね。
903 ：１３２人目の素数さん：2012/01/21(土) 12:10:03.12
なんでどこでも書かれていることを
わざわざ、時間をかけて書くのW
暇なの？
904 ：１３２人目の素数さん：2012/01/21(土) 12:11:32.59
勿論そうです
>>938
だから誰に何の謝罪をしろと言ってる？
それを言わなきゃ謝罪のしようがない
942 ：１３２人目の素数さん：2012/01/21(土) 12:50:42.96
>>940
だから誰に何の謝罪をしろと言ってる？
それを言わなきゃ謝罪のしようがない
376 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/25(日) 10:55:43.30
例のは近いうちにおいしく頂くとして、今は代数的整数論スレのことを考えている。
あの調子だとあと数年かかる。
命を狙われているのでそんなに悠長にしてられない。
虚数乗法論を解説するため楕円関数論をやろうと計画していたがそれも時間が掛かりすぎる。
ひとまず類体論を直近の目標にしようかと考えている。
Q：そうだね。このあと、どうなるのかな。超越次数から、ネターの
正規化定理へと、…と続くのかな。
P： 整拡大の定義も、前スレ（の576 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/16(月)）で
定義したことだしね。正規化定理と続いてほしいね。
あと、Lurothの定理も、超越拡大を学ぶ時に基礎だよね～
＞538 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/16(月) 12:51:49.13
＞定義
＞K を可換体とする。
＞f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
＞L を K の拡大体とする。
＞f(X) が L で分解（>>534）するとき L を f(X) の分解体と言う。
これと、
part1の149で定義した「多項式f(X) の最小分解体」、どう違うの？
part4の534
>f(X) が L において１次多項式の積になるとき、f(X) は L で分解するという。
f(X) の L における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) とは限らない。
例えば Q(√2, √3) は X^2 - 2 の分解体であるが最小分解体ではない。
part1の149
>f の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
>K(α_1、．．．、α_n) (>>91)を f(X) の最小分解体と言う。
K を可換体とする。
E/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
過去スレpart4の636より E は代数的閉包（過去スレpart4の628）Ω を持つ。
よって、E/K の中間体に関して過去スレpart1の結果を利用することが出来る。
因みに、過去スレpart1の有限次拡大に関する命題の証明の多くは
E の代数的閉包でなく適当な有限次正規拡大をとれば十分である。
A と B を可換環とする。
A が B の部分環のとき A と B の対を B/A と書き（A の）拡大と呼ぶ。
B は A の拡大環または拡大と言う。
A_1、A_2、．．．を可換環の有限または無限列とし、
各 A_(i+1)/A_i、i = 1、2、．．． は拡大（>>22）とする。
このとき列 A_1、A_2、．．．または A_1 ⊂ A_2 ⊂ ．．．を可換環の塔という。
Ψ を可換環の拡大（>>22）の集まり、すなわち集合論における類（またはクラスとも言う）とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。
（1） A ⊂ B ⊂ C を可換環の塔（>>23）とする。
C/A ∈ Ψ であるためには B/A ∈ Ψ かつ C/B ∈ Ψ が必要十分である。
（2）B/A ∈ Ψ と拡大 C/A に対して B と C がある可換環 D の部分環であるとする。
このとき常に C[B]/C ∈ Ψ となる。
ここで C[B] は C と B を含む D の最小の部分環である（過去スレpart4の546）。
B/A を可換環の拡大とする。
B は A 上の線型環（過去スレpart1の97）と見なされる。
このとき B が A 上整（過去スレpart4の576）のとき、
B は A 上整である、または B/A は整であるという。
Ψ を可換環の拡大（>>22）で整（>>25）なもの全体の類とする。
このとき Ψ は正則（>>24）である。
証明
Ψが>>24の (1) と (2) を満たすことを示せば良い。
（1） A ⊂ B ⊂ C を可換環の塔（>>23）とする。
B/A ∈ Ψ かつ C/B ∈ Ψ なら過去スレpart4の587より C/A ∈ Ψ である。
逆に C/A ∈ Ψ なら明らかに B/A ∈ Ψ かつ C/B ∈ Ψ である。
（2）A ⊂ C であるから B の各元は C 上整である。
よって、過去スレpart4の594より C[B]/C は整である。
証明終
Ψ を可換体の拡大（過去スレpart4の512）の集まり、
すなわち集合論における類（またはクラスとも言う）とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。
（1） K ⊂ L ⊂ M を可換体の塔（過去スレpart4の864）とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。
（2）E/K ∈ Ψ と拡大 F/K に対して E と F がある可換体 H の部分体であるとする。
このとき常に EF/F ∈ Ψ となる。
ここで EF は H における E と F の合成体（過去スレpart4の901）である。
Ψ を可換体の代数的拡大（過去スレpart4の633）の全体の類とする。
このとき Ψ は正則（>>27）である。
証明
Ψが>>27の (1) と (2) を満たすことを示せば良い。
（1）は過去スレpart4の605と>>26より明らかである。
（2）E/K ∈ Ψ と拡大 F/K に対して E と F がある可換体 H の部分体であるとする。
過去スレpart4の605と>>26より可換環の拡大 F[E]/F は整である。
よって、過去スレpart4の609より F[E] = F(E) である。
F(E) = EF だから EF/F ∈ Ψ である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
{x_1、．．．、x_n} を L/K の超越基底（>>9）とする。
{y_1、．．．、y_m} を L の部分集合で K 上代数的独立（>>7）であるとする。
このとき m ≦ n である。
証明
r を 1 ≦ r ≦ m となる任意の整数とする。
r ≦ n であり、x_1、．．．、x_n の番号を適当に付け替えて
x_1、．．．、x_r を y_1、．．．、y_r で置き換えることにより
L が K(y_1、．．．、y_r、．．．、x_n) 上代数的（過去スレpart4の633）になることを
r に関する帰納法で証明しよう。
そうすれば r = m のとき m ≦ n となる。
r = 1 とする。
y_1 は K(x_1、．．．、x_n) 上代数的（過去スレpart4の553）である。
よって、f(y_1、x_1、．．．、x_n) = 0 となる f ∈ K[Y_1、X_1、．．．、X_n] で
f ≠ 0 であるものが存在する。
y_1 は K 上代数的でないから f(Y_1、X_1、．．．、X_n) の各単項式にはどれかの X_i が現れる。
x_1、．．．、x_n の番号を付け替えて i = 1 と仮定してよい。
よって、n = 1 のとき x_1 は K(y_1) 上代数的である。
よって、過去スレpart4の607より K(y_1, x_1) = K(y_1)(x_1) は K(y_1) 上代数的である。
K(y_1) ⊂ K(y_1、x_1) ⊂ L であり、L/K(y_1、x_1) は代数的であるから
>>28より L/K(y_1) は代数的である。
n ≧ 2 のとき x_1 は K(y_1、x_2、．．．、x_n) 上代数的である。
上記と同様に L は K(y_1、x_2、．．．、x_n) 上代数的である。
以上から r = 1 の場合に上記の主張は証明された。
（続く）
r ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より x_1、．．．、x_n の番号を適当に付け替えて
L は K(y_1、．．．、y_(r-1)、x_r、．．．、x_n) 上代数的である。
よって、y_r は K(y_1、．．．、y_(r-1)、x_r、．．．、x_n) 上代数的である。
よって、g(y_1、．．．、y_r、x_r、．．．、x_n) = 0 となる多項式
g ∈ K[Y_1、．．．、Y_r、X_r、．．．、X_n] で g ≠ 0 であるものが存在する。
y_1、．．．、y_r は K 上代数的独立であるから
多項式 g(Y_1、．．．、Y_r、X_r、．．．、X_n) の各単項式にはどれかの X_i が現れる。
x_r、．．．、x_n の番号を付け替えて i = r と仮定してよい。
n = r なら x_r は K(y_1、．．．、y_r) 上代数的である。
K(y_1、．．．、y_r) ⊂ K(y_1、．．．、y_r、x_r) ⊂ L において
K(y_1、．．．、y_r、x_r)/K(y_1、．．．、y_r) と L/K(y_1、．．．、y_r、x_r) は代数的であるから
>>28より L は K(y_1、．．．、y_r) 上代数的である。
n ＞ r なら x_r は K(y_1、．．．、y_r、x_(r+1)、．．．、x_n) 上代数的である。
よって、上記と同様に L は K(y_1、．．．、y_r、x_(r+1)、．．．、x_n) 上代数的である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
{x_1、．．．、x_n} を L/K の超越基底（>>9）とする。
このとき L/K の任意の超越基底 S の濃度 |S| は n である。
証明
T を S の空でない有限集合とする。
T は K 上代数的独立（>>7）だから>>29より |T| ≦ n である。
よって、|S| ≦ n である。
S は L/K の超越基底だから>>29より n ≦ |S| である。
よって、|S| = n である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
S を K 上代数的独立（>>7）な L の部分集合とする。
α ∈ L が K(S) 上超越的（過去スレpart4の544）であるためには
S ∪ {α} が K 上代数的独立であることが必要十分である。
証明
自明である。
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
S を L の部分集合とする。
S が L/K の超越基底（>>9）であるためには S が K 上代数的独立（>>7）で
S ⊂ T、S ≠ T となる K 上代数的独立な L の部分集合 T が存在しないことが必要十分である。
証明
必要性：
S が L/K の超越基底であるとする。
S ⊂ T、S ≠ T となる K 上代数的独立な L の部分集合 T が存在するとする。
α ∈ T で S ∪ {α} が K 上代数的独立であるものが存在する。
>>32より α ∈ L は K(S) 上超越的（過去スレpart4の544）である。
これは L が K(S) 上代数的（過去スレpart4の633）であることに矛盾する。
十分性：
S が K 上代数的独立で S ⊂ T、S ≠ T となる K 上代数的独立な L の部分集合 T が存在しないとする。
α ∈ L - S なら S ∪ {α} は K 上代数的独立でない。
よって、>>32より α ∈ L は K(S) 上代数的である。
よって、S は L/K の超越基底である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
Γ を L の空でない部分集合で L は K(Γ) 上代数的（過去スレpart4の633）とする。
T を Γ の空でない部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき T ⊂ S ⊂ Γ となる L/K の超越基底（>>9）S が存在する。
証明
T ⊂ Z ⊂ Γ となる L の部分集合 Z で K 上代数的独立なもの全体を Ψ とする。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係により全順序集合となるとする。
W = ∪{Z ∈ Φ} とおく。
U を W の空でない有限部分集合とする。
Φ は包含関係により全順序集合であるから U ⊂ Z となる Z ∈ Φ がある。
Z は K 上代数的独立であるから U は K 上代数的独立である。
よって、W は K 上代数的独立である。
W ⊂ Γ であるから W ∈ Ψ である。
よって、Zornの補題より Ψ は極大元 S を持つ。
任意の α ∈ Γ - S に対して S ∪ {α} は K 上代数的独立ではない。
よって、>>32より α は K(S) 上代数的（過去スレpart4の544）である。
よって、K(Γ) = K(S)(Γ) は K(S) 上代数的である。
L は K(Γ) 上代数的であるから>>28より L は K(S) 上代数的である。
よって、S は L/K の超越基底である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
このとき L/K は超越基底（>>9）を持つ。
証明
L/K が代数的（過去スレpart4の633）なら空集合が L/K の超越基底である。
よって、L/K は代数的（過去スレpart4の544）でないとする。
α ∈ L で K 上超越的（過去スレpart4の544）なものが存在する。
{α} は K 上代数的独立である。
>>34において Γ = L とすれば {α} ⊂ S となる L/K の超越基底 S が存在する。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
>>35より L/K は超越基底（>>9）S を持つ。
S が有限集合のとき、>>31より L/K の任意の超越基底 T は有限集合であり、
S と T の濃度は同じである。
この濃度を L/K の超越次元(transcendence dimension)と呼び、tr.dim L/K と書く。
S が無限集合のとき、>>31より L/K の任意の超越基底は無限集合である。
このとき L/K の超越次元は無限とし、tr.dim L/K = ∞ と書く。
K ⊂ L ⊂ M を可換体の塔（過去スレpart4の864）とする。
S を L/K の超越基底（>>9）とし、T を M/L の超越基底とする。
このとき S∪T は M/K の超越基底である。
証明
S を L/K の超越基底（>>9）とし、T を M/L の超越基底とする。
S は K 上代数的独立で T は K(S) 上代数的独立であるから S∪T は K 上代数的独立である。
よって、M が K(S∪T) 上代数的であることを示せばよい。
L = K(S)(L) だから L(T) = K(S)(L)(T) = K(S)(T)(L) = K(S∪T)(L)
L の各元は K(S) 上代数的だから K(S∪T) 上代数的である。
よって、過去スレpart4の594と過去スレpart4の609より L(T) = K(S∪T)(L) は K(S∪T) 上代数的である。
M は L(T) 上代数的であるから>>28より M は K(S∪T) 上代数的である。
証明終
K ⊂ L ⊂ M を可換体の塔（過去スレpart4の864）とする。
tr.dim M/K = tr.dim L/K + tr.dim M/L である。
但し ∞ + ∞ = ∞ であり、n が整数 ≧ 0 のとき n + ∞ = ∞ + n = ∞ とする。
証明
>>37より明らかである。
K ⊂ L ⊂ H を可換体の塔（過去スレpart4の864）とする。
L/K は K 上代数的とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき S は L 上代数的独立である。
証明
S は空でないとしてよい。
T を S の任意の空でない有限部分集合とする。
T の濃度を n とする。
L/K は K 上代数的であるから>>28の（2）より L(T) = L(K(T)) は K(T) 上代数的である。
>>38より tr.dim L(T)/K = tr.dim K(T)/K + tr.dim L(T)/K(T) = tr.dim K(T)/K = n
一方、tr.dim L(T)/K = tr.dim L/K + tr.dim L(T)/L = tr.dim L(T)/L
よって、tr.dim L(T)/L = n
n ≧ 1 だから T の元で L 上代数的でないものがある。
よって、>>34より T は L(T)/L の超越基底 U を含む。
>>31より U の濃度は n だから T = U である。
よって、T は L 上代数的独立である。
T は S の任意の空でない有限部分集合であるから S は L 上代数的独立である。
証明終
K ⊂ L ⊂ H を可換体の塔（過去スレpart4の864）とする。
L/K は K 上代数的とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき K(S) と L は K 上線型無関連（過去スレpart4の713）である。
証明
T を S の任意の空でない有限部分集合とする。
過去スレpart4の717より K(T) と L が K 上線型無関連であることを証明すれば良い。
よって、過去スレpart4の849より K[T] と L が K 上線型無関連であることを証明すれば良い。
T の単項式全体は K[T] の K 上の線型基底である。
>>39より T は L 上代数的独立であるからこれ等の単項式は L 上線型独立である。
よって、過去スレpart4の804より K[T] と L は K 上線型無関連である。
証明終
K ⊂ L ⊂ H を可換体の塔（過去スレpart4の864）とする。
L/K は K 上代数的とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき K(S) ∩ L = K である。
証明
>>40より K(S) と L は K 上線型無関連（過去スレpart4の713）である。
過去スレpart4の721より K(S) ∩ L = K である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
L の元で K 上代数的（過去スレpart4の544）なもの全体 M は
L/K の中間体（過去スレpart4の854）をなす。
証明
過去スレpart4の586と過去スレpart4の605より M は L の部分環である。
過去スレpart4の596より M は L の部分体である。
K ⊂ M であるから M は L/K の中間体である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
>>42より L の元で K 上代数的なもの全体 M は L/K の中間体である。
M を K の L における相対代数的閉包または代数的閉包と言う。
K を可換体とする。
Ω/K 拡大（過去スレpart4の512）で Ω は代数的閉体（過去スレpart4の628）であるとする。
Ω における K の相対代数的閉包（>>43）を L とする。
このとき L は代数的閉体である。
証明
f(X) ∈ L[X] を定数でない多項式とする。
Ω は代数的閉体であるから f(X) は Ω において根 α を持つ。
α は L 上代数的であるから L(α)/L は代数的である。
よって、>>28より L(α)/K は代数的である。
よって、α ∈ L である。
よって、L は代数的閉体である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
S を L の部分集合で K 上代数的独立とする。
L = K(S) なら K の L における相対代数的閉包（>>43）は K である。
証明
K の L における相対代数的閉包を M とする。
>>41より K(S) ∩ M = K である。
L = K(S) だから L ∩ M = K
M ⊂ L だから L ∩ M = M
よって、M = K
証明終
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
F と N を H/K の中間体（過去スレpart4の854）で F ∩ N = K とする。
F/K は有限次（過去スレpart4の842）とする。
N/K は有限次Galois拡大（過去スレpart4の848）とする。
このとき F と N は K 上線型無関連（過去スレpart4の713）である。
証明
H の代数的閉包（過去スレpart4の628）を Ω とすれば、過去スレpart1の505が使える。
過去スレpart1の505より以下が成り立つ。
（1） NF/F はGalois拡大である。
（2） σ ∈ G(NF/F) に対して σ の N への制限 σ|N は G(N/K) の元である。
（3） σ ∈ G(NF/F) に σ|L ∈ G(N/K) を対応させる写像 λ は
G(NF/F) から G(N/K) への同型である。
（3）より [NF ： F] = [N ： K] である。
一方、過去スレpart4の561より [NF ： K] = [NF ： F][F ： K]
よって、[NF ： K] = [N ： K][F ： K]
よって、過去スレpart4の839より F と N は K 上線型無関連である。
証明終
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
F と N を H/K の中間体（過去スレpart4の854）で F ∩ N = K とする。
F/K は代数的（過去スレpart4の633）とする。
N/K は有限次Galois拡大（過去スレpart4の848）とする。
このとき F と N は K 上線型無関連（過去スレpart4の713）である。
証明
過去スレpart4の717より F の K 上線型独立な任意の有限集合 S が
N 上線型独立であることを証明すれば良い。
過去スレpart4の609より K(S) = K[S] である。
過去スレpart4の585と605より [K[S] ： K] は有限である。
よって、>>46より K(S) と N は K 上線型無関連である。
よって、S は N 上線型独立である。
証明終
K を可換体とする。
E/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
F と N を E/K の中間体（過去スレpart4の854）とする。
N/K は有限次Galois拡大（過去スレpart4の848）とする。
F/(F ∩ N) は代数的（過去スレpart4の633）とする。
FN を合成体（過去スレpart4の901）とする。
M’を FN/F の中間体とする。
このとき N/(F ∩ N) の中間体 M があり M’= MF となる。
証明
E の代数的閉包（過去スレpart4の628）を Ω とすれば、過去スレpart1の505が使える。
過去スレpart1の505より以下が成り立つ。
（1） NF/F はGalois拡大である。
（2） σ ∈ G(NF/F) に対して σ の N への制限 σ|N は G(N/(F ∩ N)) の元である。
（3） σ ∈ G(NF/F) に σ|N ∈ G(N/(F ∩ N)) を対応させる写像 λ は
G(NF/F) から G(N/(F ∩ N)) への同型である。
NF/M’はGalois拡大である。H’= G(NF/M’) とおく。
H = λ(H’) とし、H の固定体を M とする。
F ∩ N ⊂ M ⊂ MF
F/(F ∩ N) は代数的だから MF/M は代数的である。
よって、MF の M 上の線型基底 (e_i)、i ∈ I として F の元からなるものが存在する。
F ∩ N ⊂ M だから (e_i)、i ∈ I は F ∩ N 上線型独立である。
一方、>>47より F と N は F ∩ N 上線型無関連である。
よって、(e_i)、i ∈ I は N 上線型独立である。
よって、MF と N は M 上線型無関連である。
よって、過去スレpart4の721より MF ∩ N = M である。
よって、過去スレpart1の505より λ(G(NF/MF)) = G(N/M) = H である。
一方、λ(H’) = H だから H’= G(NF/MF) である。
よって、M’= MF である。
証明終
K を可換体とする。
E/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
N を H/K の中間体（過去スレpart4の854）とする。
N/K は有限次Galois拡大（過去スレpart4の848）とする。
S を E の部分集合で K 上代数的独立とする。
M’を N(S)/K(S) の中間体とする。
このとき N/K の中間体 M で M’= M(S) となるものが一意に存在する。
証明
>>41より K(S) ∩ N = K である。
E の代数的閉包（過去スレpart4の628）を Ω とすれば、過去スレpart1の505が使える。
過去スレpart1の505より以下が成り立つ。
（1） N(S)/K(S) はGalois拡大である。
（2） σ ∈ G(N(S)/K(S)) に対して σ の N への制限 σ|N は G(N/K) の元である。
（3） σ ∈ G(N(S)/K(S)) に σ|L ∈ G(N/K) を対応させる写像 λ は
G(N(S)/K(S)) から G(N/K) への同型である。
（続く）
H’= G(N(S)/M’) とおく。
H = λ(H’) とする。
H の固定体を M とする。
N(S) の任意の元 f は S の元の N 係数の有理式で表される。
g ∈ M’とすると g は H’の任意の元で不変である。
よって、S の元の N 係数の有理式としての g の 係数は H の任意の元で不変である。
よって、その係数は M に属す。
よって、g ∈ M(S) である。
よって、M’⊂ M(S) である。
逆に M(S) の任意の元は H’の任意の元で不変である。
よって、M(S) ⊂ M’である。
以上から M’= M(S) である。
L を N/K の中間体で M’= L(S) とする。
>>39より S は L 上代数的独立である。
よって、S の元の単項式全体は L[S] の L 上の基底である。
>>39より S は N 上代数的独立であるからこの基底は N 上線型独立である。
よって、L[S] と N は L 上線型無関連である。
よって、過去スレpart4の849より L(S) と N は L 上線型無関連である。
よって、過去スレpart4の721より L(S) ∩ N = L である。
同様に M(S) ∩ N = M である。
M’= M(S) = L(S) であるから M = L である。
証明終
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
F と N を H/K の中間体（過去スレpart4の854）で F ∩ N = K とする。
N/K は有限次Galois拡大（過去スレpart4の848）とする。
このとき F と N は K 上線型無関連（過去スレpart4の713）である。
証明
>>35より F/K は超越基底 S を持つ。
>>40より K(S) と N は K 上線型無関連（過去スレpart4の713）である。
よって、過去スレpart4の858より F と N(S) が K(S) 上線型無関連であることを証明すれば良い。
過去スレpart1の505より N(S)/K(S) は有限次Galois拡大である。
F/K(S) は代数的だから>>47より F ∩ N(S) = K(S) を証明すれば良い。
M’= F ∩ N(S) とおく。
K(S) ⊂ M’⊂ N(S) であるから>>49より N/K の中間体 M で M’= M(S) となるものが一意に存在する。
M(S) ⊂ F だから M ⊂ F
よって、M ⊂ F ∩ N = K
よって、M = K である。
即ち F ∩ N(S) = K(S) である。
証明終
>>51は N/K が無限次Galois拡大でも成り立つ（後で証明する）。
Bourbakiは上の命題をGalois降下(Galois descent)を使用して証明している。
上記の証明は私が考案したものである。
G を群、Σ を G の正規部分群の空でない集合で以下の条件（*）を満たすものとする。
（*）N_1, N_2 ∈ Σ なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ Σ がある。
このとき、各 x ∈ G に対して、{xN = Nx；N ∈ Σ} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。
証明
代数的整数論001の607で証明済みである。
>>54において、∩{N; N ∈ Σ} は {e} の閉包である。
ここで e は G の単位元えある。
証明
F = ∩{N; N ∈ Σ} とおく。
{e} の閉包を {e}~ と書く。
N ∈ Σ、x ∈ N のとき xN = N だから N は開部分群である。
よって、任意の y ∈ G に対して yN は開集合である。
G を N による剰余類で類別すれば G - N は yN の形の部分集合の合併である。
よって、N は閉集合である。
よって、{e}~ ⊂ F である。
逆の包含関係を示せば良い。
x ∈ F とする。
各 N ∈ Σ に対して x ∈ N だから xN = N
よって、e ∈ xN
よって、x ∈ {e}~
よって、F ⊂ {e}~
証明終
X を集合とする。
Δ = {(x, x)；x ∈ X} とする。
Δ は X×X の部分集合である。
A と B を X の部分集合とする。
A ∩ B ≠ φ となるためには (A×B) ∩ Δ ≠ φ となることが必要十分である。
証明
自明である。
X を位相空間とする。
X がHausdorffであるためには、
X×X の対角集合 Δ = {(x, x)；x ∈ X} が X×X の閉集合であることが必要十分である。
証明
x ∈ X、y ∈ X、x ≠ y とし U と V をそれぞれ x と y の近傍とする。
U×V は (x, y) の X×X における近傍である。
>>56より U ∩ V = φ となるためには (U×V) ∩ Δ = φ となることが必要十分である。
よって、X がHausdorffであるためには、X×X - Δ が開集合であることが必要十分である。
よって、X がHausdorffであるためには、Δ が閉集合であることが必要十分である。
証明終
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
G の位相がHausdorffであるためには、{e} が閉集合であることが必要十分である。
証明
必要性：
G がHausdorffなら {e} は閉集合である。
十分性：
{e} が閉集合であるとする。
写像 ｆ：G×G → G を f(x, y) = xy(^-1) で定義する。
f^(-1)(e) は G×G の対角集合 Δ = {(x, x)；x ∈ G} である。
f は連続だから Δ は閉集合である。
よって、>>57より G はHausdorffである。
証明終
>>54において、G の位相がHausdorffであるためには、
∩{N; N ∈ Σ} = {e} となることが必要十分である。
ここで e は G の単位元である。
証明
>>55と>>58より明らかである。
X を任意の集合とする。
X の任意の部分集合を X の開集合と定義することにより X は位相空間となる。
この位相を X の離散位相と言う。
離散位相の入った位相空間を離散空間と呼ぶ。
明らかに離散空間はHausdorffである。
俺の許可を得ずにスレを立てるなんて、良い度胸だね。
Making such a thead without my authorization leads the guess that you are supposed to be a courageous person.
I have no choice but to commend you for your boldness!
This is the reminder that "I'm watching you all the time".Don't forget this...
絶対に許さん。これだけは自覚しておけ。
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん
位相空間 X の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき、
X を準コンパクト（quasi-compact）と言う。
X が準コンパクトでHausdorffのとき X をコンパクトと言う。
X を位相空間とする。
X の有限個の準コンパクトな部分集合の合併は準コンパクトである。
証明
自明である。
Okay,I flew off the handle.
I've had it up to here with you,therefore I've made up my mind to head you off forever.
熟語
fly off the handle:かっとなる
have had it up to here with～:～にうんざりした、もう我慢できない
head off～:～を阻止する、～の全面に立ちはだかる
X を離散空間とする。
X が有限集合であるためには X が準コンパクトであることが必要十分である。
証明
必要性：
X が有限集合であるとする。
X の各点 x に対して {x} は準コンパクトである。
よって、>>65より X は準コンパクトである。
十分性：
X が準コンパクトであるとする。
X の各点 x に対して {x} は開集合である。
よって、({x})、x ∈ X は X の開被覆である。
X は準コンパクトであるから X は有限個の {x} で覆われる。
即ち、X は有限集合である。
証明終
X を準コンパクト（>>64）な位相空間とする。
このとき X の任意の閉集合 F は準コンパクトである。
証明
(U_i)、i ∈ I を F の開被覆とする。
W = X - F とする。
W は X の開集合で X = W ∪ ∪{U_i；i ∈ I} であるから I の有限部分集合 J があり
X = W ∪ ∪{U_i；i ∈ J} となる。
よって、F ⊂ ∪{U_i；i ∈ J} となる。
よって、F は準コンパクトである。
証明終
X をHausdorff空間とする。
X の準コンパクト（>>64）な部分空間 Y は X の閉集合である。
証明
x を X - Y の任意の点とする。
Y の任意の点 y に対して x の開近傍 U_y と y の開近傍 V_y で U_y ∩ V_y = φ となるものがある。
Y は準コンパクトだから Y の有限個の点 y_1、．．．、y_n があり
Y ⊂ V_(y_1) ∪．．．∪ V_(y_n) となる。
U = U_(y_1) ∩．．．∩ U_(y_n) とおけば U はどの V_(y_i) とも交わらない。
よって、U は Y と交わらない。
即ち U ⊂ X - Y である。
U は x の近傍だから X - Y は X の開集合である。
よって、Y は X の閉集合である。
証明終
ni ge SB wwwwwwwwwwwwwwwww
X と Y を位相空間とし、X は準コンパクト（>>64）であるとする。
f：X → Y を連続写像とする。
このとき f(X) は Y の準コンパクトな部分空間である。
証明
(U_i)、i ∈ I を f(X) の開被覆とする。
(f^(-1)(U_i))、i ∈ I は X の開被覆である。
X は準コンパクトだから I の有限部分集合 J があり
X = ∪{f^(-1)(U_i)；i ∈ J} となる。
よって、f(X) ⊂ ∪{U_i；i ∈ J} となる。
よって、f(X) は準コンパクトである。
証明終
X と Y を位相空間とし、f：X → Y を写像とする。
X の任意の閉集合 F に対して f(F) が Y の閉集合であるとき f を閉写像と言う。
X と Y を位相空間とし、X は準コンパクト（>>64）で Y はHausdorffであるとする。
f：X → Y を連続写像とする。
このとき f は閉写像（>>72）である。
証明
F を X の任意の閉集合とする。
>>68より F は準コンパクトである。
よって、>>71より f(F) は準コンパクトである。
Y はHausdorffだから>>69より f(F) は Y の閉集合である。
証明終
X を準コンパクト（>>64）な位相空間とし、Y をHausdorff空間とする。
f：X → Y を連続な全単射写像とする。
このとき f は位相同型である。
証明
>>73より f は閉写像（>>72）である。
よって、f の逆写像は連続である。
よって、f は位相同型である。
証明終
G を群とする。
G は G の各元を射とすることにより一個の対象 G を持つ圏と見なされる。
C を圏とする。
関手 F：G → C を G の C における表現と言う。
X = F(G) のとき X は表現 F の表現対象と呼ぶ。
三つ組 (G, F, X) を表現とも言う。
各 σ ∈ G に対して F(σ)F(σ^(-1)) = F(σ^(-1))F(σ) = F(1) = 1 であるから
F(σ) は X の自己同型である。
σ に F(σ) を対応させることにより準同型 G → Aut(X) が得られる。
逆に準同型 f：G → Aut(X) があるとき関手 F：G → C で F(X) = X となり
各 σ ∈ G に対して F(σ) = f(σ) となるものが一意に存在する。
よって、G の C における表現とは
群 G と X ∈ C と準同型 f：G → Aut(X) の三つ組 (G, f, X) と見なせる。
G の C におけるある表現 (G, f, X) があるとき X を C における G-対象とも言う。
このとき f を G-対象 X の標準射と呼ぶ。
このとき、各 σ ∈ G に対して射 f(σ)：X → X が定まる。
f(σ) を σ と略記することがある。
即ち σ：X → X は C の射である。
G を群とする。
C を圏とする。
C における G-対象（>>75）全体 Func(G, C)（代数的整数論017の372）は
自然変換を射とすることにより圏となる。
この圏を C^G とも書いた（代数的整数論017の372）。
X と Y を C における G-対象とする。
C における射 g：X → Y が G-対象の射であるとは
任意の σ ∈ G に対して次の図式が可換となることである。
即ち>>75の略記法で σg = gσ となることである。
X → Y
↓ ↓
X → Y
G-対象の射 X → Y を G-射と言う。
G を群とする。
Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。
G の Set における表現 (G, f, X)（>>75）を G の置換表現とも言う。
G の Set における G-対象（>>75）を G-集合とも言う。
X を G-集合とし、f：G → Aut(X) を標準射とする。
σ ∈ G と x ∈ X に対して f(σ)(x) を σx と略記する。
X と Y を G-集合とする。
G-集合の射 g：X → Y とは Set における G-対象としての射（>>76）である。
自業自得ｗｗｗ
YOU ARE MY TARGET.
いいや、私はKummer氏の数学は守ります。誤解の無い様に願います。私の
敵はあくまでもアンタ等みたいな馬鹿と低脳なのでね。
猫
To Vakas,
ALL OF YOU STUPIDS ARE MY VERY SERIOUS AND ETERNAL TARGET.
--neko--
働け！
くたばれ。
猫
踊れ。
踊らなくて良いので、サッサと消滅シロ。邪魔や。
猫
Making such a thead without my authorization leads the guess that you are supposed to be a courageous person.
I have no choice but to commend you for your boldness!
This is the reminder that "I'M WATCHING YOU ALL THE TIME".
Do you understand?
We expect you to dance here.
>>89
オマエ等みたいな低脳は必要ナシ。
猫
G を群とする。
X を G-集合（>>77）とする。
このとき、任意の σ、τ ∈ G と任意の x ∈ X に対して以下が成り立つ。
（1）1x = x
（2）σ(τx) = (στ)x
逆に任意の σ ∈ G と任意の x ∈ X に対して σx ∈ X が定義され
上の （1）と (2) が成り立つなら
σ ∈ G のとき x ∈ X に σx ∈ X を対応させる写像を f(σ)：X → X とすれば
f(σ) ∈ Aut(X) であり f：G → Aut(X) は準同型である。
よって、X は G-集合である。
証明
自明である。
G を群とする。
X を G-集合（>>77）とする。
x、y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G があるとき x ～ y と書く。
これは明らかに同値関係である。
商集合 X/～ を G-集合 X の軌道空間（orbit space）と呼び、X/G と書く。
X/G の各類を軌道（orbit）と言う。
x ∈ X が属す軌道を x の軌道と言い、Gx と書く。
G を群とする。
X を G-集合（>>77）とする。
x ∈ X のとき H = {σ；σx = x} は G の部分群である。
H を x の安定化部分群（stabilizer subgroup of x）または固定化部分群と言い St(x) と書く。
G を群とする。
X を G-集合（>>77）とする。
Y を X の部分集合とする。
任意の σ ∈ G と任意の y ∈ Y に対して σy ∈ Y とする。
このとき Y を X の G-部分集合（G-subset）と言う。
このとき Y は G-集合であり、包含写像 ι：Y → X は G-射である。
G を群とする。
X を G-集合（>>77）とする。
Y を X の G-部分集合（>>94）とする。
このとき X - Y は X の G-部分集合である。
証明
σ ∈ G、x ∈ X - Y のとき σx ∈ Y なら x = σ^(-1)(σx) ∈ Y となって仮定に反する。
よって、σx ∈ X - Y
よって、X - Y は X の G-部分集合である。
証明終
おまえには自明にみえないん？
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/309
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/311
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/312
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/324
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/327
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/445
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/449
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/452
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管理人様 クマをアク禁にしてくださいませ
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢して>>1さんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチの|の形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
22 名前：薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日：06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
>>20
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください
747 名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/19(木) 08:49:37.65
クマの前のトリップだね
この件でクマはトリップをかえたんだよねw
何が自明で何が自明ではないかはその人に依存する。なのでオマエには
そういう事は無関係や。
猫
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