ルベーグ積分や測度論のスレ

1 ：

癖のある教科書に引っかからないようにしましょう

2 ：

僕が、柴垣がお薦めです！というとすごく非難されます。
でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。

3 ：

関連スレ
関数解析（Functional Analysis）
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1311378587/

4 ：

関連過去ログ
関数解析＆ルベーグ積分
http://logsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1043423127/
Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1088665870/
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1109910304/

5 ：

R^1上のルベーグ可測な集合Aで
どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか

6 ：

>>5
存在する。
集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。
補題1：Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2：閉集合 K⊂R であって、K^i＝φかつm(K)＞0を満たすものが存在する。
>5への回答：
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して
K＝(O∪S1)∩S2^c
と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、
K ＝ K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O
が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、
φ ＝ K ^i ⊃ O^i ＝ O
となる。すなわちO＝φとなる。このとき K＝S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)＝0すなわちm(K)＝0となるが、これはm(K)＞0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK＝(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)
補足：K＝(O−S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。

7 ：

x∈Rを中心とする半径rの開球をB_r(x)と書くことにする。
開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)＝(x−r, x＋r)である。
補題1の証明：
O＝φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、
「x∈Oならば『任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」
を示せばよい。
x∈Oとする。あるr＞0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)＝φ が成り立つとする。このとき
B_r(x)∩O ⊂ N　… (1)
が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1＞0が取れる。
よって、r_2＝min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から
B_{r_2}(x) ⊂ N
となる。よって 0 ＜ m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) ＝ 0 となって矛盾する。
よって、任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。

8 ：

補題2の証明：
I＝[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q＝{p_k｜k＝1,2,3,…} と番号づけて表示できる。
O ＝ ∪[k＝1〜∞] B_{ 0.01^k }(p_k)
と置くと、明らかに
Q ⊂ O　…　(1)
である。また、Oは開集合であり、
m(O) ≦ Σ[k＝1〜∞] 2*0.01^k ＝ 2/99
が成り立つ。次に、K＝I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、
I＝(I∩O^c)∪(I∩O)＝K∪(I∩O)⊂K∪O
が成り立つ。よって
1＝m(I)≦m(K)＋m(O)≦m(K)＋2/99
すなわち m(K)≧1−2/99＞0 となる。さらに、K^i＝φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr＞0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと
K^i ⊂ K ＝ I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c
より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)＝(x−r, x＋r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i＝φである。(終)

9 ：

>>6-8
証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました！

10 ：

sage

11 ：

よくわからない問題があるので是非よろしくお願いします。
ｆ（ｘ）＝sin(2πｘ）　（0.1)＼Ｑ
　　　　　∞　　　　　（0.1)∩Ｑ
の||f||Ｌ∞（E)
と
g(x)=1/x (0.1)
の||g||Ｌ∞（E)
の二問です。
よろしくお願いします。

12 ：

>>11
E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞

13 ：

１２番さん
ありがとうございます。
また質問するかもしれないです。
本当にありがとうございます。

14 ：

pink

15 ：

R上のルベーグ測度に関する絶対連続測度μを考える
μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか？
f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)

16 ：

わからない問題があります。
E∈ｍ　ｍ（Ｅ）＜∞
1≦p＜q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。
またｆ∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Ｃｏ||f||Lq(E)
となる　Ｃo(fによらない）があることを示せ。
お願いします。

17 ：

q_n(n=1,2,…)を有理数の列ですべての有理数が一度ずつ入る列としよう.
∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが,　本当にこれでいいのか.

18 ：

n番目の区間のBorel測度は2^(-n+1)になるから,和集合のBorel測度は2以下になるはずだが,本当にこれでいいのか.

19 ：

僭越ながら高校生の者です。ルベーグ積分を勉強したいのですがどの教科書がいいですか？

20 ：

>>19
う〜ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分３０講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。

21 ：

中野剛志先生がＴＰＰ賛成論者の詭弁を全滅させたようです
http://www.youtube.com/watch?v=9amjatPD_l4
http://www.youtube.com/watch?v=8G29qFqId2w
中野先生が敗北宣言、暗される？
日本が米国の植民地に。すでに９９％手遅れか？
http://www.nicovideo.jp/watch/sm15973549
テレビ・新聞にだまされるな。
気づいたら、
「ｍｙ日本」で検索

22 ：

TPP

23 ：

経済学部で、測度論を勉強する必要があります。
数学は、高校数学と＋αで止まっています。
30講は読みましたが、あぁいう感じの本は読みにくかったです。
何をいいたいのかって言うと・・・
数学の知識が足りないくせに、なるべく論理的・厳密に測度論を理解したいというわがままな俺に、お薦めの本や、準備段階としてやるべきこと（集合位相は必須？）を教えてください。
目的は確率論です。

24 ：

>>23
積分と関数解析
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/4431711872/ref=_p0

25 ：

>>24
難しそうなので別のをお願いします

26 ：

change!

27 ：

新井仁之のルベーグ積分講義は厳密だっけな

28 ：

ルベーグ積分を厳密に書いてる本ってあまりないよ

29 ：

すみません質問させてください。
整数Z上の測度mで、・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A:Z上の可測集合)m(A)=m(A+b)
(A={a_i}としたとき、A+b={a_i+b})
を満たすとする。
このとき、mのような測度が存在するZ上ののσ加法族で最大のものはなんですか？？

30 ：

>>23
はっきりと言ってあげるね
君には測度論は二年早いよ
数学科ではまず微積分と線形代数を教養課程でみっちりやる
基礎がない君が背伸びしても何も身につかないよ

31 ：

>>30
経済学部の測度論なので、確率、確率過程が展開できればいいと思うので、厳密にやらなくてもいいと思うよ。

32 ：

分かった振りしとれば単位くらいはとれるよ。

33 ：

せや。測度の採点厳しくしたら経済学部の連中の大方は単位取れないw

34 ：

現代の解析は無限次元解析が主流
したがって、測度も無限次元位相ベクトル空間に値をとるものが重要

35 ：

無限次元ベクトル値測度が重要なの？

36 ：

とハッタリをかましておく。
ほんまかいな

37 ：

>>36
こういう話はアルみたいですけどね：
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_measure
でも普通に使われるのは：
http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner_integral
だと思います。但し主流かどうかは知りませんが。
猫

38 ：

自由度が可算でも, いろいろな空間がある.
Nを自然数全体からなる集合とする.
写像f:N→R,でR-{0}のfによる逆像が有限集合になるもの全体からなる空間とf:N→R全体からなる空間がある.
有限個しか0以外にならないほうが扱いやすいこともある.

39 ：

>>29
Z上のσ加法族Fが条件を満たすとするなら
(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F ……(1) という条件を満たさなければいけない
また A+b=A となるような正の整数bで最小の物をAの周期N(A)として
そのようなbがないならAは周期が無いとする
I_k={i∈Z | i/k ∈Z} とする。以下Fは条件(1)を満たすσ加法族とする。
このとき ( A∈F and N(A)=b ) → ( I_b∈F ) が成り立つことは何とか示せる
次に N(A_1)<N(A_2)<... となるような A_1,A_2,...∈Fがあるならば
{0}∈Fが成り立つこと、F=2^Zとなることも示せる
一方2^Zに対して>>29の測度は作れないので
ある自然数N>0があって F は周期がNより大きい元を持たないことになる
そして b>N として以下の F' を考えるとき、F' が I_b と F を含み(1) を満たす
σ加法族となること、また F' がそのようなσ加法族の中で最小となることを示せる
　F' = { A'⊂Z | ある A_1,...,A_b ∈ F があって
　　　　 A' = ((I_b + 1)∩A_1) ∪ ((I_b + 2)∩A_2) ∪...∪ ((I_b + b)∩A_b) となる }
Fに>>29のような測度が存在するとき、F'にもそんな測度があることを示せば
>>29を満たすσ加法族は常にそれより真に大きくてなおかつ条件を満たす
σ加法族を持つことになり最大どころか極大な物すら無いことになる

40 ：

>>29
何気に面白いなこれ。
ZのかわりにQを使って、んで完全加法性すててジョルダン測度にしたらどうなるだろ？

41 ：

>>29 を満たす測度空間が全て決定できたのだが、証明が長い(＾o＾)

42 ：

>>41
まじで！スゴいな。

43 ：

>>41
うpキボン

44 ：

全て決定出来たってことは一次元準結晶を離散化したような
なんか扱いが難しそうな奴は>>29を満たす例にならなくて
周期的な集合のみからなる測度空間だけが>>29の例に該当するのかな

45 ：

>29
その様なmは存在しない。

46 ：

>>45
>29で書かれている「可測集合」は、ボレル可測集合全体とか
ルベーグ可測集合全体とかの意味ではないぞ。
σ集合体から自分で設定するんだ。
F＝{φ, Z} とすれば、Fはσ集合体。
m(φ)＝0, m(Z)＝1 と定義すれば、mはF上の測度。
そして、測度空間(Z,F,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F
・(∀b∈Z)(∀A∈F) m(A)＝m(A+b)
だから、>>29 が成り立つような測度空間は
少なくとも1つは存在している。

47 ：

有限集合 Zn={0,1,2,...,n-1} 上の測度空間 {Zn,Fn,m_n} が与えられた時に
A∈F ⇔ ∃An∈Fn A = {a∈Z|∃b∈An a≡b (mod n)} となるZ上の集合族Fが作れて
m(A)をm_n(An)で定義した測度mとあわせて測度空間 {Z,F,m} を作れるよ
これ以外の F の例があるのか>>41に教えて欲しい

48 ：

あ、そういうことか。
すると （Ｚ，Ｂ，Ｐ） を、
　　ａ∈Ｚ、Ａ∈Ｂ　⇒　Ａ＋ａ∈Ｂ
を満たす確率測度空間とする。
仮に、Ø≠Ａ≠Ｚ だとする。
ある ｎ∈Ｚ が存在し、
　　　ｎ∈Ａ、ｎ＋１∉Ａ
または
　　　ｎ∈Ａ、ｎ−１∉Ａ
である。
前者の場合、
　　　Ｃ＝Ａ∩（Ａ＋１）∩（Ａ＋２）∩…∈Ｂ
　　　ｎ∈Ｃ⊆｛…，ｎ−２，ｎ−１，ｎ｝
　　　Ｂ∋Ｃ∩（Ｃ＾ｃ−１）＝｛ｎ｝
後者も同様。
よって、Ｂ＝｛Ø，Ｚ｝ 以外にはあり得ない。

49 ：

>>48
それも間違い。A＝{ 2x｜x∈Z } と置くと、B＝{φ, A, A^c, Z} はσ集合体である。
また、m(φ)＝0, m(A)＝1/2, m(A^c)＝1/2, m(Z)＝1と置くと、mはB上の測度になる。
そして、測度空間(Z,B,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈B) A+b∈B
・(∀b∈Z)(∀A∈B) m(A)＝m(A+b)

50 ：

ｎ∈Ｃ がどっから出てきたのか気になるわー

51 ：

抜けてた。
つまり、何が言いたいかというと、>>49 により、
B＝{φ, Z }以外にも存在するということ。

52 ：

何を言うてんの君
もう帰りや

53 ：

阿保の雑記帳

54 ：

なるほど、確かに48は駄目だね

55 ：

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性を害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>><宗教<<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

56 ：

魂は幾何学
誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作

57 ：

>>29
Zを整数の集合、FをZ上のσ集合族として測度空間(Z,F,m)が次を満たしたとする
(1)m(Z)=1
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) A+n∈F
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) m(A)=m(A+n)
まず{0}∈FならF=2^Zとなることと(1)〜(3)を満たす(Z,2^Z,m)は存在しないことに注意する
A≠φとなるA∈Fをとってきて I_A=∩{a∈A}(A-a) とおくと(2)よりI_A∈Fである
0∈I_A より ∃i∈I_A(i≠0) が成り立つ。また i∈I_A, n∈Z → in∈I_A と i,j∈I_A → i+j∈I_A
となることを使えば、ある数n_Aがあって I_A={..., -2n_A, -n_A, 0, n_A, 2n_A, ...} だと示せる
次に I_F=∩{A∈F, A≠φ}I_A とおけば I_A の候補は可算個しかないので
右辺は実質は可算個の集合の共通部分になり I_F∈F となる
また 0∈I_F よりある数n_Fがあって I_F={..., -2n_F, -n_F, 0, n_F, 2n_F, ...} だと示せる
そして F' を I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族とすると(2)よりF'⊂Fである
A∈F, A≠φ ならば I_A は適当な数列 a_1,...,a_k があって I_A=∪_l (I_F + a_l) となるので
I_A ∈ F' である。また A = ∪{a∈A} (I_A + a) なので A∈F' である
よって F⊂F' より F=F' となる
以上より (Z,F,m) が(1)〜(3)を満たすσ集合族ならば、ある数n_Fがあって
Fは I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族となることが分かる
という風に Z をもっと一般の可算環（って言葉あるっけ？）に出来そうな証明が出来た

58 ：

>>57
＞ i∈I_A, n∈Z → in∈I_A
n≧0のときは簡単だけど、n＜0のときはどうやって証明するの？

59 ：

>>58
A∈F, i∈I_A とする
B≡A∩(A^c+i)=φならば∀a∈A (a-i∈A) となり -i∈I_A が示せるので
それを証明する。B∈FなのでBは可算集合か空集合になる
Bが可算集合だとすると a2=a1+ni , n∈N となる a1,a2∈B があり
a2-i=a1+(n-1)i∈A となるがこの時 a2∈A+i となってしまうので矛盾する
よって -i∈I_A となる。また一般の n<0 の場合も ni∈I_A となる、って感じで

60 ：

>>59
サンクス。理解した。しかし凄いな。

61 ：

E＝[0.2]とし　非負単関数列sn E=[0.∞）が次で与えられている。
sn(x)= n (f(x)≧nのとき）
　　　k/2^n(k/2^n≦f(x)≦k＋1/2^n) k=0.1.2・・・n2^n-1
のときf(x)=√x
(1)∫sn dxを求めよ　(2)(1)のlim
の二問お願いします。

62 ：

>61意味不明

63 ：

62
√xの面積をルベーグ積分の定義で計算したいのです。

64 ：

いやそういうことじゃなくて、書いてあることが矛盾に満ちていて意味不明ということ
例えば、
> 非負単関数列sn E=[0.∞）が次
と、関数列と領域が何の脈絡もなく併記されているとか、
> E＝[0.2]とし
としておきながら、直後に
> E=[0.∞）
と矛盾したことを書く等

65 ：

申し訳ないです。
E=[0.2）とし　非負単関列sn E→[0.∞）です。
申し訳ないです。

66 ：

こりゃ駄目だ

67 ：

問題文そのまま移してるんですけど・・

68 ：

E=[0,2]として f(x): E→[0,∞) に対して
非負単関数列 s_n : E→[0,∞)が次で与えられているとする
s_n(x)= n (f(x)≧nのとき)
s_n(x)= k/2^n ( k/2^n≦f(x)≦(k+1)/2^n ( k=0,1,...,n*(2^n-1) ) )
f(x)=√x のとき
(1)∫_E s_n dx を求めよ (2)lim[n→∞]∫_E s_n dx を求めよ
が問題文だとして、(2)は∫_E √x dx だけど
(1)は計算するのめんどそうだ

69 ：

そうなんです
2番は楽なんですけど
1番の計算ができないので1番だけでもいいのでよろしくお願いいたします。

70 ：

やっぱり伊藤清三かなあ
吉田朋広ってどうなんだろ

71 ：

ルベーグ積分なんて余程のハズレでない限りどの本読んだって同じよ
…という訳にはならないけど学部で必要な知識得るだけだったら同じよ

72 ：

学部で必要な知識という事なら確かにそうだな

73 ：

ルベーグ積分って、今でも研究されてるの？
単に、ルベーグ積分ですって言っておいて、
定理を利用すると、証明しやすいってだけじゃないの？

74 ：

関数解析の問題なんですが
K⊂R^n　有界閉ならばC(K)がバナッハ空間になることを証明せよ
という問題なんですが
区間なら証明できるのですが一般の場合だと
どうすればいいのかわからないのでぜひよろしくお願いします。

75 ：

>>74
C(K)の収束は関数列の一様収束と同値を使えばできると思う。

76 ：

７５さん
ということは区間でも大丈夫っすね？

77 ：

>>76
KがコンパクトであればOK。

78 ：

>>73
例えば実数全体の集合の部分集合が必ず可測になるような公理の定め方には
どのような物があるか、みたいなのを数理論理学で考えてるのは73の例になるのかな
ならないならもっと別の例を用意せんとな

79 ：

>>73
研究対象かどうかはしらん。
ルベーグ積分は積分順序の交換ができようにつくられたもの。

80 ：

>>79
そりゃ見方が狭すぎる．　各種収束定理をお忘れか

81 ：

今のような形の測度論はコルモゴロフが（ひとまず）完成させた、という認識でいいんでしょうか

82 ：

>>80
だれかの受け売りです。
ルベーグ、単調、ファトーでしたっけ。

83 ：

>>82
ですね。　要するに何かの関数を少し抽象的な方法で構成しようというとき，
例えば身近な例だと常微分方程式の解の存在定理をPicardの反復法
で作る証明がありますね。目的とする関数へ収束するであろう関数列を
なんとかこしらえて，その収束先が確かに存在して目的関数が
満たすべき条件を満たしてるということが言いたい場面があるわけです。
Picardの反復法なんかは普通の微積分の範囲で済むんだけどさ。
コンパクト集合上で一様収束する関数列になってくれますからね。
もう少し面倒な，例えば偏微分方程式なんかでは考えてる台が
たとえコンパクトであっても一様収束性を言うのは厳しいなんてことが
よくあるわけです。そういうこところでルベーグ積分の理論が役に立つわけです。
ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。
とにかく目的関数に収束する関数を，まあ適当な部分列を取ることにしても
とにかく一様収束になるようにしないといけなかったから。

84 ：

測度さえ与えられれば積分は大抵は難しさもなく定義出来る
ルベーグ積分はルベーグ測度から与えられるもの
ルベーグ測度自体はR^n上の測度で殆ど固定化された定義がある
そう考えればルベーグ積分自体を研究してる人はいないと思うが
ある図形がルベーグ可測か研究してる人や一般的な測度を研究してる人や
ルベーグ可積分な関数全体のなす集合について研究してる人は今も普通にいる

85 ：

具体的に

86 ：

選択公理じゃなくてハーンバナッハの定理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい

87 ：

Matthew Foreman and Friedriich Wehrung: The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set, Fund. Math., vol.138 (1999), pp.13-19

88 ：

ばかあげ

89 ：

選択公理じゃなくて決定性公理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい

90 ：

ばかが質問してるぞ

91 ：

決定性公理はね

92 ：

公理あげ

93 ：

>>89
作れません

94 ：

>>93
決定性公理からは、作れないことが証明できるんですか？
それなら選択公理なんて捨てて、決定性公理をデフォルトの公理にしちゃえば丸く収まりますね。

95 ：

>>94
君みたいなバカがいなくなれば丸くおさまるよ

96 ：

>>ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。
フーン、そうだったのですネ。
一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。

97 ：

>>96
> 一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。
haa

98 ：

>97
faa

99 ：

pfaah

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