【線形】偏微分方程式何故何スレッド ３【非線形】

1 ：

祝！復活！

2 ：

ワシは素人やさかい、見てるだけや。
猫

3 ：

誰か数学の話題をカキコしてくれろや。ワシは勉強させて貰うさかいナ。
猫

4 ：

未だ線形やってる人いますか？

5 ：

ワシも知りたい。
猫

6 ：

線形は予備知識を得るのが大変だって聞いた事がある

7 ：

ほしたら何を勉強したらエエのかを教えてくれろや。減る万田のホンとかかァ？
猫

8 ：

日本語の本ってあまりないのでは？
昔なら、溝畑、熊ノ郷とか。
定数係数なら金子とか。
情報古くてｺﾞﾒﾝ

9 ：

>>8
減る万田は「英語のホン」やと思うけどナ。ほんでどうなんや？
猫

10 ：

減る万田は読んだことないですが、解析界の怪物と呼ばれてましたから
難しいと思います。
英語はスエーデン人なんで読みやすいのかな？

11 ：

ほしたら減る万田の前に準備として何を読むのがエエのや？
猫

12 ：

線形なら新開先生の「擬微分作用素」が分かりやすい。
ただし、応用は放物型限定。

13 ：

ネットで目次だけ見ました。私はこういう微分方程式の本は今までに一度も勉
強した事がありません。でも学部生の時に熊ノ郷先生の擬微分作用素の教科書
を少しだけ勉強というかめくりましたね。
猫

14 ：

Random pseudo differential operatorについて考えよう

15 ：

あの　Stromdorf は偏微分にも手を出していたのか。
この人は公務員になったのを後悔してるのかな。
ttp://home.p07.itscom.net/strmdrf/pde.htm

16 ：

sage

17 ：

何故超関数のような物を考えて解の範囲を広げたのか教えてください

18 ：

偏微分方程式のスレだからそれに直接関係ある話題で応える
たとえばδ関数を考えることが出来たとする
このとき f(x,y)=∫∫δ(x-x')δ(y-y')f(x',y')dx'dy' とおけるから
e_xx+e_yy=δ(x)δ(y)
となるe(x,y)を与えられれば
u(x,y)=∫∫e(x-x',y-y')f(x',y')dx'dy'
を考えることで
u_xx+u_yy=∫∫(e_xx(x-x',y-y')+e_yy(x-x',y-y'))f(x',y')dx'dy'
=∫∫δ(x-x')δ(y-y')f(x',y')dx'dy'=f(x,y)
が成り立つ
よってe(x,y)さえ与えられればu_xx+u_yy=f(x,y)の解も与えられることになる
こんな感じで様々な定数係数の線形偏微分方程式を調べられることも
超関数が人気だったことの一つ

19 ：

>>18
有り難うございます！

20 ：

sage

21 ：

面白い方程式はあるかい

22 ：

>>17
超関数の範囲じゃないと解が存在しないから。
有理数だけ考えたら　x^2=2 も解けないから
√2を導入したろ、それと同じ。
代数方程式を解くだけなら複素数全部はいらんし
代数的数だけで十分だけど、めんどいから完備化する。
同じように、超関数全部考える必要ないけど、めんどいから
完備化して D'とか考える。あるいは佐藤超函数でも
実用上は大差ない（細かいところで差が出る）。
大学1年の微積の段階で実数論をちゃんとやると
大変だ（実際は大したことない）が、大学3年の解析の
段階で超関数をちゃんとやると大変（実際は大したことない）ってだけ。

23 ：

個別の問題での話だと、超関数解を持つ事が言えれば、普通の意味での関数解を
持つ事が言える、って場合もある。

24 ：

偏微分方程式についてです。
∂u/∂t+∂u/∂x+au=0
という偏微分方程式を、与えられた変数変換によって解けという問題なんですが、うまく理解できません。
変数変換はt=τ、x=τ-ζです。
解説も含めてお願い致します。

25 ：

変換くらい自分でやれよ

26 ：

変換といわれてもわからないんですよね。

27 ：

バカばかりだなw

28 ：

>>26
その場合代入と同義だ。

29 ：

解説なんていわれても無理だぞ
uをτ,ζの関数u(τ,ζ)とみなす。τ,ζをt,xの関数とみなす
t=τ、x=τ-ζだからτ=t、ζ=t-xとなる
あとは
http://www-ailab.elcom.nitech.ac.jp/lecture/neuro/rensa.html
のページの最初の四角に書かれてある公式において
z→u、u→t、v→x、x→τ、y→ζと文字を置き換えるだけだ
∂u/∂tと∂u/∂xを、∂u/∂τと∂u/∂ζで表せるようになる
その計算結果を∂u/∂t+∂u/∂x+au=0に代入すると
∂u/∂ζ+au=0となるからそれを解けば終わり

30 ：

>>24
形式的にとくと
∂u/∂t=∂u/∂τ ∂τ/∂t+∂u/∂ζ ∂ζ/∂t=∂u/∂τ+∂u/∂ζ
∂u/∂x=∂u/∂τ ∂τ/∂x+∂u/∂ζ ∂ζ/∂x= -∂u/∂ζ
∂u/∂τ+au=0
u -->e^(-at)

31 ：

f(x-t)e^(-at)

32 ：

∂u/∂t+∂u/∂x+au=0 は　t､xにかんして交換してもかわらないから
f(t-x)e^(-ax) 喪買い煮なるね

33 ：

f(x-t)e^(-at) +　g(t-x)e^(-ax)　喪買い煮なるね

34 ：

Let f(x-t)=h(x-t)e^(t-x), the we got f(x-t)e^(-at) ー＞h(x-t)e^(-ax)
This means f(x-t)e^(-at) is enough.
　

35 ：

東大生にはムリだったね　>>27

36 ：

ナビエ･ストークス方程式について
導出から解法、数値計算までかかれた本のオススメはありませんか？
どちらかというと偏微分方程式がメインで
数値計算法がサブメイン、
ナビエ〜が具体例みたいな感じがいいです。

37 ：

ナビエ･ストークス方程式の未解決問題ってどの位難しいですか？

38 ：

既に俺が解決してAMSに投稿した

39 ：

にゃーん 保守age

40 ：

猫

41 ：

スレ違いかもしれんが、

42 ：

スレ違いかもしれないけど、弾性問題がわからん
円孔を有する無限平板の一軸引張り なんだけど、圧縮の場合応力方向変えるだけでいいの？
線形、非線形の本見たけど普通引張りしかない…

43 ：

>>24-26

軸を45ﾟ回す。
　t = τ+ζ
　x = τ-ζ
とおくと与式は
　2(∂u/∂τ) + au = 0,
u=0 はこの式を満たす。
u≠0 のとき
　(2/u)(∂u/∂τ) = -a,
τで積分して
　2･log|u| = -aτ + c(ζ),
　u = C(ζ)e^(-aτ/2) = C(t-x)e^(-a(t+x)/2),

44 ：

リー群や微分幾何でどうして解が求まるのかどなたか教えてください

45 ：

あんでぃ

46 ：

犬

47 ：

あんでぃ

48 ：

-y(Ux)+x(Uy)=0,
u(x,0)=x^2
という偏微分方程式、初期値問題を教えてください。
UxはUのx偏微分、UyはUのy偏微分です。
少なくとも片方の係数が定数なら、dx/dt　dy/dyで解けるのはわかりますが
双方ともに変数でかつしかもxとyが逆になっててちんぷんかんぷんです。
答はわかってるので解法を教えてください。

49 ：

>>1
おめでとう。

50 ：

岩波叢書の林仲夫先生の非線形分散型微分方程式の本まだぁ？

51 ：

線形双曲型方程式であれば井川先生の本が 2 冊あります
線形シュレディンガー方程式であれば磯崎先生の本があります
超局所解析（代数解析でない）の日本語の体系的な本はないのでは
熊ノ郷先生のあまりにも早い死が惜しまれる

52 ：

幾何では楕円型偏微分方程式が必要になることが多いのですが
どんな本がいいですか？

53 ：

幾何に使えるかわかりませんが，線形では島倉先生の本があります．
村田･倉田先生の本もあります．
後，非線形では鈴木貴先生の本があります．
洋書は多数あります．

54 ：

53 の続き
楕円型の境界値問題では，アグモン先生の本の翻訳と田辺先生の関数解析・下
もあります．

55 ：

>>52
ちょっと古いですが、昔の『岩波、基礎数学講座』で小平先生が書かれた
複素多様体論で、ソコの付録に藤原先生が書かれたものがあります。
猫

56 ：

ここでは大学の現役准教授以上が本を薦めて下さい。名前欄に大学名と学部学科
メール欄に職位を記入して下さい。
>>55のような素人の知ったかクンの蘊蓄は不要です。

57 ：

あげときます

58 ：

>>51
なぜNLSを扱ってる堤誉志雄の偏微分方程式をあげない？

59 ：

>>58
なぜならば、ＮＬＳを知らないからだ ('A`)

60 ：

>>58
上で線形方程式が話題になっていたので，
それに対する本を挙げただけです．

61 ：

非線形偏微分方程式の主な本？
これからの非線型偏微分方程式　小薗英雄・三沢正史・小川卓克　　色々
ナヴィエ‐ストークス方程式の数理　岡本 久
非線形微分方程式の大域解　松村昭孝・西原健二　　「粘性項」を含んだ1次元非線形微分方程式
非線形偏微分方程式　儀我美一・儀我美保　　拡散型非線形偏微分方程式
偏微分方程式　堤誉志雄　　非線形シュレディンガー方程式
偏微分方程式講義　鈴木貴・上岡友紀　　半線形楕円型方程式
Kdv方程式　田中俊一

62 ：

>>60
なんだ>>50に対する回答かと思ったわ

63 ：

>>61
その7冊を全部読めば、解析学賞くらい楽々取れるよ

64 ：

またお勉強と研究の違いもわからないお子ちゃまか
夏休みだな

65 ：

>>17
L. Schwartz の自伝を読んでください

66 ：

>>61
Kdv 方程式　伊達先生も書いてください

67 ：

>>61
最後のは読んでも研究には役に立たない。
代数解析は死んだ。

68 ：

>>67
代数解析が死んだかどうかともかくとして、
田中伊達が、今となっては古いのは確か。
佐藤理論が出てくる前は、こんな感じでしたよ〜って
お爺ちゃんの昔話を知りたいなら良いｗ

69 ：

>>68
岡本先生のパンルヴェ方程式はどうでしょうか？

70 ：

無駄だ

71 ：

数学会のプログラム見てても、パンルヴェの講演なんて減ってる。
岡本が助手になった頃に始まって、引退して終わった分野。
一ジャンルの興亡のタイムスパンってそんなもんだろ。
パンルヴェから岡本まで、半世紀くらい死んでたように
あの50年くらいしたら、また復活することもあるだろ。
岡本の本は、復活の時に備えたタイムカプセルだよｗ

72 ：

>>52
多様体上の擬微分作用素も必要になると思いますが，
解析学者が書いた本では，L. Hormander の 4 巻本，熊ノ郷先生の本，
M. Taylor の Princeton の本があります．

73 ：

パンルヴェ方程式は幾何学

74 ：

>>52
幾何をやるにせよ、楕円型偏微分方程式をやるにせよ、応用上のすべては己の理解力にかかっている。
ど〜せやるなら、後者を主体的にお勉強した方がよいとは思う。
多様体や物理が当然のように出て来る「線型偏微分方程式論における漸近的方法」っていうのはあるな。
これは少し難しいと思うから、すぐに手を出すのはやめた方がいいとは思う。

75 ：

>>74
表面上わかりやすそうでありながらこれほど意味不明な文章は
はじめてお目にかかったわ。

76 ：

ユークリッド空間以外で偏微分を考える応用上のメリットって何ですか？

77 ：

>>76
Melrose 氏の本を読まれたら良いかもしれません

78 ：

>>75
>表面上わかりやすそうでありながらこれほど意味不明な文章
文脈上幾通りかの解釈が可能だが、この言葉をそのままお返ししよう。
深い理解が伴えば楕円型方程式を見てそれが表す幾何学的現象を妄想出来るようになる。

79 ：

>>52
質問の意図が微妙だけど幾何的にPDEをガリガリやるってことだとすると
やってる研究者は日本にいないはず　革新的な結果を出せる面白い分野だけど
ホモトピー論を多用したりと結構敷居が高い
日本では馴染みがないけど幾何解析って分野で
マックスプランク研究所にいるGerhard Huisken教授が有名

80 ：

あ、解析幾何とはまた別って意味で幾何解析ってレスしたんで混同しないようにしてくれ

81 ：

線形のｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞｰ方程式の初期値問題を関数解析的に扱った本はないでしょうか？

82 ：

保江とかネルソンじゃね

83 ：

>>81
potential がない Schr\"odinger 方程式に対しては，
堤誉志雄先生の本があります．Strichartz's estimate の
証明も与えられています．
potential がある場合は，黒田成俊先生の，スペクトル理論 II，
岩波書店そして北田均先生の，フーリエ解析の話，現代数学社，等
多数あります．目的に応じて本を探してください．
Reed-Simon の 4 巻本に必要な事が書いてあるかも知れません．

84 ：

>>82>>83
ｻﾝｸｽ
探してみます！

85 ：

微積分って実数回とか複素数回とかできるの？

86 ：

>>85
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%93%AC%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0
猫

87 ：

新開先生の本や熊の郷先生の本があったな。

88 ：

>>85
回？ 作用素のべきのことですか？
作用素のべきであれば，スペクトル分解を用いて
一般のべきが定義できる場合があります．関数解析の本を見てください．
正値で自己共役な楕円型作用素の冪であれば，
compact 多様体上の場合は剰余項なしできれいに定義できます．
例えば minus Laplacian の root 等．
熊ノ郷先生の本にはユークリッド空間上の場合が議論されています．
この場合は剰余項が生じます．

89 ：

>>88
普通は、作用素のべきじゃなくて擬微分作用素のことを指すと思うが。
ついでに言うと、作用素のべきはスペクトル分解用いなくても定義できるよね。

90 ：

>>89 作用素のべきはスペクトル分解用いなくても定義できるよね。
補間法による定義でしょうか？

91 ：

exp(cx)はn階微分するとc^n*exp(cx)となるから
実数αに対してc^α*exp(cx)を与えることでα階微分したという事にしましょう
sin(cx),cos(cx)だとn階微分でc^n*sin(cx+nπ/2), c^n*cos(cx+nπ/2) になるから
c^α*sin(cx+απ/2), c^α*cos(cx+απ/2) を与えてα階微分したという事にしましょう
それ以外の関数は三角関数の和で近似してα階微分を与えましょう
って感じの説明だと高校生が理系でやる範囲内に収まるのかな

92 ：

>>91
そんなことのために超関数みたいなこと考えるなよ…。
超関数考えるなら最低でももっと一般的に考えろよ…。
って、簡単に出来るのはδ関数とか簡単なのに限られるか。

93 ：

>>92
超函数って言うか、分数階微分（非整数階微分）って結構そういうもん。

94 ：

δa/δt = −δa/δx + a*cos(x) + (a^2+b^2)*a
δb/δt = −δb/δx + b*cos(x) + (a^2+b^2)*b
っていう方程式を差分法使って数値計算で解こうと考えた場合，
（仮に初期条件を孤立波としておく）
とりあえず線形項を考慮して，dt/dx<<1
は満たす必要があると思いますが，非線形項を含む場合は
どのようにdtやdxを決定してやればいいのでしょうか？
プログラム作るのはそこまで難しくなさそうだけど，
dtやdxってテキトーに決める以外，方法はなくないですか？

95 ：

>>79
儀我先生の文章に，先生が 1985 年に出会った Aviles 氏は,
もともと幾何解析の偏微分方程式を研究していた，とあります．
Aviles 氏を知っておられますか？
当方，幾何解析の知識がありませんので．

96 ：

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性を害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>><宗教<<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

97 ：

魂は幾何学
誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器

98 ：

King

99 ：

Aviles, Patricio
MR Author ID: 192357
Earliest Indexed Publication: 1977
Total Publications: 26
Total Citations: 231
>>95

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