押し付けは人類の宝だからだ！
前スレ
【押し付け】満員電車で女性と密着【髪クンカ】
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/employee/1199589167/l50
!. | ヾ> ｜| lﾆ ｺ 〈／｀ヽ _ ﾐ
|. ! ノ| | ﾚ! _| |. ,ｲ,.- ､ | ￣_￣丁 '' ｰ┬‐- -ﾐ
ヽ二／ .ヽ/（___ﾒ> /,|.l l ! （ ） ! (´ ) ! r‐
ry'〉 ,､ /ｲ,! `ｰ' _L =- --┴-ﾆ二ﾄ､_'ｰ'
lﾆ', r三) （（ |'J｣-''_二 =-- ‐一 ｰ‐t‐-ﾄ､ 二__
|_| ）） ﾚ'／´ｨ ､______＿＿＿ ヾﾐ| l
_r┐ __ （（ V ,、 F≡三r一ｔｧｰ, | l:.:. .::
└ｌ. ﾚ',.-､ヽ ）） |ノ＾>、 '＾ミ二´ | l:.:.:.::
ﾉ r' __,! | （（ V/ｲｿ .::ヽ､二_
└'!_| (_ｔ_メ.> ）） | / ,' _ .:.:.:.::i|,)ﾉ
r-､ （（ |.〈、 ､ _〉 ｀丶、 ;:ｨil| ノ
,､二.._ ）） | 笊ｙfﾐﾐミミヾ､ '!ｌ|il|li!fj'
ｰｧ ／. （（ ヽ |i''r ''_二二ﾆﾐ;ヽ､ ,|ｌ||il|l|,｢ﾟ|
ん､二ﾌ ）） |,l| V´ :::::::::;;／ ﾄi|l|i|i|ｌ|!Ll
,.-─-.、 （（ |i! ゞ=-‐''" ,i||i|ｌ|ｌ|l|!|i{
/ /l .i^ヽヽ ` |il! ｰｫii|｢、 ,,.,.ｨi||l|i|l|l|i|l|ｼ'
. | .ﾚ' / l.｜ ヽ二ﾆ,ヽ ,/i|l||livil|||l|i|l|l|lil|l|i|l|i|i|i|l|l|l|{'
. ヽ／ ﾉノ ＜ノ {l|!|l|i|l|i|l|i|||i|i|l|i|i|i|i|l|l|!|l|l!r'
r┐,.─-､ / 7 ヾ!||i|i||i|i|l||l||i|i|l|l|l|l||l|l!ｲ
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|_| l´r' 7 /_7 / ｣__〉 （＿~｀^~"ﾞ'ヾ ﾉ ／ ,
[_] [_] 〈_/ヽ_/ .ト─' ﾉ ／
∧＿∧ （´<_｀ ） おまえは5年後にはきっと、せめて5年後にはまともになってやり直したいと
∑（；´_ゝ`） / ⌒i 思っているのだろう。
／ ＼ | | 今からやり直せよ。未来を。
/ /￣￣￣￣/ | 5年、10年、20年と生きてきたんだから未来は変えれるんだよ
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） おまえは5年後にはきっと、せめて5年後にはまともになってやり直したいと
∑（；´_ゝ`） / ⌒i 思っているのだろう。
／ ＼ | | 今からやり直せよ。未来を。
/ /￣￣￣￣/ | 5年、10年、20年と生きてきたんだから未来は変えれるんだよ
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／ ＼ | | 今からやり直せよ。未来を。
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∥ | ∨
∥ 現実 ∧_∧ .ﾍ∧
∥ ＼ ( ･∀･) (ﾟA●)
||￣￣⊂ ) ( と)
凵 し`Ｊ U U
＿＿＿ 読めませ～ん
∥ | ∨
∥ 空気 ∧_∧ .ﾍ∧
∥ ＼ ( ･∀･) (ﾟA●)
||￣￣⊂ ) ( と)
凵 し`Ｊ U U
＿＿＿ 知りませ～ん
∥ | ∨
∥ 常識 ∧_∧ .ﾍ∧
∥ ＼ ( ･∀･) (ﾟA●)
||￣￣⊂ ) ( と)
凵 し`Ｊ U U
＿＿＿ ありませ～ん
∥ | ∨
∥ 未来 ∧_∧ .ﾍ∧
∥ ＼ ( ･∀･) (ﾟA●)
||￣￣⊂ ) ( と)
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.,,iil!ﾞ° ,,iil!lﾞ゜ lllll| .lllll、 ,ill!lﾞﾞﾞﾞﾞﾞllllllllliii,,,,、 ,,iilll!° :llll| liiii、 ,,illl!ﾞ゜lllll: ,ill!!ﾞﾞﾞ!!!!llllll,,,,,
,iil!ﾞ° .,iil!lﾞ゜ llllll 'lllll .!llli,,,,,,,,illlll｀ﾟﾞﾞ!!l!″ ,,,,,iilll!!ﾞ′ .lllll,,,,,,,,,,,illlll ﾞﾞ｀ :llll| .'!lli,,,,,,,,,iill!ﾞﾞ!!!ﾞ
″ ’ ﾞﾞﾞ° .ﾞﾞﾞﾞ!!!!ﾞﾞﾞ｀ ｀ﾞ!!!ﾞﾞ｀ .ﾞﾞ!!!!!!!!!!!ﾞﾞ l!!! ﾞﾞﾞﾞﾞﾞlﾞﾞﾞﾞ°
♪ ＼＼ ♪僕らはみんな生きている～ 生きているけど>>1は～♪／／
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♪ ＼＼ ♪僕らはみんな生きている～ 生きているけど>>1は～♪／／
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押し付けは人類の宝だからだお！
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／ （●） （●） ＼. ホワイトデーもーしかやることないお・・・
| （__人__） |
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および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
ルベーグ積分(Lebesgue integral)とは、より広い種類の関数が
積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、
被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、
無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、
測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。
このような積分の拡張が必要となった背景には、
フーリエ級数等の関数列の極限として表される関数に対して、
積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えるために
非常に繊細な議論が必要だったということがある。
この点について、ルベーグ積分では、関数列の極限が被積分関数として
適当かどうかを考える必要がなく、
積分と極限操作の交換も簡単な十分条件が分かっている(ルベーグの収束定理)。
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは
（局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、
φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。
局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標
すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、
局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
局所座標を用いることにより U 上の点を
m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。
U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、
これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。
座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm)
のように書いたものを用いることもある。
局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。
多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。
地図の上の点は地球上の点に対応し、
さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、
地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。
座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地
多様体（たようたい、manifold）とは、
局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。
多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。
地図の上の点は地球上の点に対応し、
さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、
地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。
座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地
あまりにも満員で、ステップのところから上に上がれない状態で
JCが立ってたんだけど、ちょうど顔にティムポが当たるわけよ！
揺れに合わせて当たってたんだけど、あまりに興奮して
髪の毛に出しちゃった！
本当、おとなしい子最高だろ！
英:stochastic differential equation）とは、
一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、
その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式はブラウン運動（ウィーナー過程）から
確率微分方程式（かくりつびぶんほうていしき、
英:stochastic differential equation）とは、
一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、
その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式はブラウン運動（ウィーナー過程）から
派生すると考えられる白色雑音を組み込むが、
不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
派生すると考えられる白色雑音を組み込むが、
不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（きょうかい、
英：strong solution）と弱解（じゃくかい、英：weak solution）の二種類ある。
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。
弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、
強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。
確率微分方程式の理論的解釈は、同方程式の解とは何かによって解釈する。
確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（きょうかい、
英：strong solution）と弱解（じゃくかい、英：weak solution）の二種類ある。
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。
弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、
強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。
同過程の過去の値、または他の確率過程の現在と過去の値にも依存する、
さらに一般的な確率微分方程式が考えられる。 この場合、解確率過程 Xt は
マルコフ過程ではなく、その解は拡散過程ではなく伊藤過程
（いとうかてい、英：Itō process）と呼ばれる。
係数関数が現在と過去の Xt の値のみに依存する場合、定義する確率微分方程式は、
確率遅延微分方程式（かくりつちえんびぶんほうていしき、
英：stochastic delay differential equation）という。
係数関数 μ と σ が、解確率過程 Xt の現在の値のみならず、
同過程の過去の値、または他の確率過程の現在と過去の値にも依存する、
さらに一般的な確率微分方程式が考えられる。 この場合、解確率過程 Xt は
マルコフ過程ではなく、その解は拡散過程ではなく伊藤過程
（いとうかてい、英：Itō process）と呼ばれる。
係数関数が現在と過去の Xt の値のみに依存する場合、定義する確率微分方程式は、
確率遅延微分方程式（かくりつちえんびぶんほうていしき、
英：stochastic delay differential equation）という。
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
英:stochastic differential equation）とは、
一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、
その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式はブラウン運動（ウィーナー過程）から
派生すると考えられる白色雑音を組み込むが、
不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
確率微分方程式（かくりつびぶんほうていしき、
英:stochastic differential equation）とは、
一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、
その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式はブラウン運動（ウィーナー過程）から
派生すると考えられる白色雑音を組み込むが、
不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（きょうかい、
英：strong solution）と弱解（じゃくかい、英：weak solution）の二種類ある。
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。
弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、
強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。
確率微分方程式の理論的解釈は、同方程式の解とは何かによって解釈する。
確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（きょうかい、
英：strong solution）と弱解（じゃくかい、英：weak solution）の二種類ある。
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。
弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、
強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
女→タダで濡らせてもらえて快感
よってここを荒らしている椰子は、自分だけ触られない事をひがんでるブサイク
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
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掲示板を楽しむほど、お金が振り込まれるのです。
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私は現実に起こっている事実に喜びを隠し切れず、
尚も掲示板を楽しみました。
するとそこには今までに見た事がないお金が振り込まれていたのです。
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押し付けは人類の宝だからだお！
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
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「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
測度論（そくどろん）は完全加法族、測度、可測関数
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは
（局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、
φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。
局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標
すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、
局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
局所座標を用いることにより U 上の点を
m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。
U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、
これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。
座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm)
のように書いたものを用いることもある。
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、
m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは
（局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、
φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。
局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標
すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、
局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
局所座標を用いることにより U 上の点を
m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。
U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、
これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。
座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm)
のように書いたものを用いることもある。
局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。
多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。
地図の上の点は地球上の点に対応し、
さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、
地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。
座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地
多様体（たようたい、manifold）とは、
局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。
多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。
地図の上の点は地球上の点に対応し、
さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、
地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。
座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地
多様体（たようたい、manifold）とは、
局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。
多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。
地図の上の点は地球上の点に対応し、
さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、
地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。
座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地
英:stochastic differential equation）とは、
一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、
その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式はブラウン運動（ウィーナー過程）から
派生すると考えられる白色雑音を組み込むが、
不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
確率微分方程式（かくりつびぶんほうていしき、
英:stochastic differential equation）とは、
一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、
その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式はブラウン運動（ウィーナー過程）から
派生すると考えられる白色雑音を組み込むが、
不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
確率微分方程式（かくりつびぶんほうていしき、
英:stochastic differential equation）とは、
一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、
その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式はブラウン運動（ウィーナー過程）から
派生すると考えられる白色雑音を組み込むが、
不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（きょうかい、
英：strong solution）と弱解（じゃくかい、英：weak solution）の二種類ある。
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。
弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、
強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。
確率微分方程式の理論的解釈は、同方程式の解とは何かによって解釈する。
確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（きょうかい、
英：strong solution）と弱解（じゃくかい、英：weak solution）の二種類ある。
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。
弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、
強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。
確率微分方程式の理論的解釈は、同方程式の解とは何かによって解釈する。
確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（きょうかい、
英：strong solution）と弱解（じゃくかい、英：weak solution）の二種類ある。
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。
弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、
強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
誰にも邪魔させねえ！
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」
という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを
置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で
「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」
ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
測度論（そくどろん）は完全加法族、測度、可測関数
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは
（局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、
φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。
局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標
すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、
局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
局所座標を用いることにより U 上の点を
m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。
U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、
これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。
座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm)
のように書いたものを用いることもある。
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、
m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは
（局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、
φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。
局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標
すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、
局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
局所座標を用いることにより U 上の点を
m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。
U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、
これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。
座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm)
のように書いたものを用いることもある。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
測度論（そくどろん）は完全加法族、測度、可測関数
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
あまりにも満員で、ステップのところから上に上がれない状態で
JCが立ってたんだけど、ちょうど顔にティムポが当たるわけよ！
揺れに合わせて当たってたんだけど、あまりに興奮して
髪の毛に出しちゃった！
本当、おとなしい子最高だろ！
どんな田舎バスだよ
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
ファイゲンバウム定数（Feigenbaum constant）は、
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。
例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、
x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、
その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。
アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。
A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。
A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、
B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T,
f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。
上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、
f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。
例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、
x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、
その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。
アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。
A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。
A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、
B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T,
f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。
上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
アトラクターは、力学系の位相空間の一部である。1960年代までの教科書を見てみると、
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
アトラクターは、力学系の位相空間の一部である。1960年代までの教科書を見てみると、
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
ファイゲンバウム定数（Feigenbaum constant）は、
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
女に人権は不要！
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
ファイゲンバウム定数（Feigenbaum constant）は、
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。
例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、
x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、
その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。
アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。
A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。
A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、
B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T,
f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。
上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、
f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。
例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、
x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、
その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。
アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。
A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。
A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、
B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T,
f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。
上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
アトラクターは、力学系の位相空間の一部である。1960年代までの教科書を見てみると、
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
アトラクターは、力学系の位相空間の一部である。1960年代までの教科書を見てみると、
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
ファイゲンバウム定数（Feigenbaum constant）は、
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
君は馬鹿だから知らなくて当たり前だが、放精とは言わないのだよｗ
射精と言うのだよ射精とｗ
つまり、溜まった小便を出さずに我慢してるようなもんだ。
そこが女の性欲とは違う。
だから、電車内で射精すればスキーリ出来て性犯罪も減る。
つまり、性犯罪抑止のためには女の我慢が大切なんだ！
お！しつけ
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
ファイゲンバウム定数（Feigenbaum constant）は、
ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名づけられた、
2つの数学定数である。両方とも分岐図の比に表れる。
第一ファイゲンバウム定数の値は、分岐図における分岐の間隔やマンデルブロ集合における
連続する2つの円の直径の正弦比である。ファイゲンバウムは本来、
この数をロジスティック写像における分岐に関連する数としていたが、
他にも多くの図と関係があることが分かった。現在では、この写像に当てはまる
全てのカオス系は同じ比を持つことが明らかになっている。
ファイゲンバウム数は、このような系でいつカオスの状態に達するかを
予測するのに使われている。この数は1975年に発見された。
第二ファイゲンバウム定数の値は、1つの枝とそこから派生する2つの枝の幅の比を与える数である。
これらの数は、証明はされていないが、超越数であると考えられている。
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
アトラクター（英: attractor）とは、力学系が十分長い時間を経た後に
発展する集合である。すなわち、多少の妨害があってもアトラクターに
十分近い点は近いままであり続ける。幾何学的には、アトラクターとしては
点、曲線、多様体、またはさらに複雑なフラクタル構造のストレンジアトラクターがある。
無秩序な力学系のアトラクターは、カオス理論で説明される。
アトラクターにおける力学系の軌道は、アトラクター上に
とどまること以外の特別な条件を満たす必要はない。その軌道は周期的な場合もあるし、
カオス的な場合もあるし、他の任意の種類がありうる。
f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。
例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、
x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、
その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。
アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。
A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。
A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、
B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T,
f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。
上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、
f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。
例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、
x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、
その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。
アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。
A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。
A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、
B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T,
f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。
上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
アトラクターは、力学系の位相空間の一部である。1960年代までの教科書を見てみると、
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
アトラクターは、力学系の位相空間の一部である。1960年代までの教科書を見てみると、
アトラクターは位相空間の幾何学的部分集合（点、直線、曲面、体積）と考えられていた。
位相幾何学的集合は既に知られていたが、例外にすぎないと見なされていた。
スティーヴン・スメイルは蹄鉄型写像が構造安定であることを示し。
そのアトラクターの構造がカントール集合であることを示した。
最も単純なアトラクターとして不動点とリミットサイクルがある。
他にもアトラクターとなる様々な幾何学的集合が考えられる。
それらの集合（やその上での動き）が説明し難い場合、
そのアトラクターを「ストレンジアトラクター」と呼ぶ（後述）。
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
測度論（そくどろん）は完全加法族、測度、可測関数
および積分といったものを研究する実解析の一分野。
確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して
"大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。
この概念は解析学や確率論において重要である。
測度空間 Ω が有限であるというのは、
μ(Ω) が有限値であることである。
また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和であらわされるとき、
Ω は σ-有限 であるという。測度空間に属する集合は、
それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき
σ-有限測度を持つという。
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、
可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、
S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。
また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。
つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）とは
ノルム空間であって、そのノルムが定める距離が
完備であるようなもののことである。
1920年にステファン・バナッハによって導入されたが、
ノーバート・ウィーナーなど幾人かの同時代の数学者によっても
同時期に定義されていた。ルベーグ積分、微分多様体と共に、
20世紀解析学の基礎をなし、関数解析学における基本的な
研究対象であるほかに偏微分方程式や変分法の研究に
不可欠のものとなっている。
m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは
（局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、
φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。
局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標
すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、
局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
局所座標を用いることにより U 上の点を
m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。
U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、
これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。
座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm)
のように書いたものを用いることもある。
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、
m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは
（局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、
φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。
局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標
すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、
局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
局所座標を用いることにより U 上の点を
m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。
U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、
これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。
座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm)
のように書いたものを用いることもある。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を
Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。
これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。
X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への
全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。
このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して
対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
自分の好きなタイミングで、好きな椰子を選んで射精する！
トラウマを植え付け声を出せなくなるのが理想！
射精に至ってはただの生理現象。
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